Question

1.（2006•锦州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为（4，0），∠AOC=60°，

1.（2006•锦州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为（4，0），∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N（点M在点N的上方）．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）设△OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒（0≤t≤6），试求S与t的函数表达式；
（3）在题（2）的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

没有图，假定菱形在第一象限。

(1) OC = 4, 菱形各边长均为4，OA=4

A的横坐标为4*cos60° = 4*1/2 = 2

A的纵坐标为4*sin60° = 4*√3/2 = 2√3

A(2， 2√3)

B的横坐标为A的横坐标+4 = 2+4 = 6

B的纵坐标为A的纵坐标相同（AB平行于OC）

B(6,  2√3)

(2) 

(a) 0≤t≤2时，M在OA上

OA的斜率为tg60° = √3, OA的方程为y = √3x

ON = t

M,N的横坐标均为t, M的纵坐标为√3t

M(t, √3t)

N(t, 0)

S = (1/2)*ON*M的纵坐标 = (1/2)t*√3t = √3t²/2  (0≤t≤2)

(b) 2<t≤4

N(t, 0)

M(t, 2√3)

S = (1/2)*ON*M的纵坐标 = (1/2)*t*2√3 = √3t  (2<t≤4)

(c) 4<t≤6

CB平行于OA，斜率也是√3

CB的方程为：y = √3(x-4)

代入t，N的纵坐标为√3(t-4)

N(t, √3(t-4))

M(t, 2√3)

S = (1/2)*MN*N的横坐标 = (1/2)*[2√3 - √3(t-4)]*t = √3t(6-t)/2   (4<t≤6)

(3) 

(a)情形下，S为增函数，最大值为：t=2, S = 2√3

(b)情形下，S为增函数，最大值为: t=4, S = 4√3 

(c)情形下，S为减函数，最大值小于(b)情形下的最大值

三者中，t=4时，S最大， 为4√3