Question

求数学高手。 一道数列的较难题。

1的平方+2分之一的平方+3分之一的平方+4分之一的平方+.....n分之一的平方等于多少？
我想问下能不能用列项求和或者放缩法或者其他方法得出答案？

或者哪位高手告诉我下能不能用不等式求出这个式子的范围？应该怎么做？

Answer 1

1＋1/2²＋1/3²＋ … ＋1/n²→π²/6
这个首先是由欧拉推出来的，要用到泰勒公式，属于大学范围
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
将sinx按泰勒级数展开：
sinx＝x－x^3/3!＋x^5/5!－x^7/7!＋ …
于是sinx/x＝1－x^2/3!＋x^4/5!－x^6/7!＋ …
令y＝x^2，有sin√y/√y＝1－y/3!＋y^2/5!－y^3/7!＋ …
而方程sinx＝0的根为0,±π,±2π,…
故方程sin√y/√y＝0的根为π²,(2π)²,…
即1－y/3!＋y^2/5!－y^3/7!＋…＝0的根为π²,(2π)²,…
由韦达定理，常数项为1时，根的倒数和＝一次项系数的相反数
即1/π²＋1/(2π)²＋…＝1/3!
故1＋1/2²＋1/3²＋ … ＝π²/6

追问

请您告诉我下能不能用不等式求出这个式子的范围？应该怎么做？

Answer 2

原式=1+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2，
≤1+1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/[(n-1)n]
=1+1-1/2+1/2-1/3+…+1/（n-1)-1/n
=1+1-1/n
<2

Answer 3

1/1²+1/2²+1/3²+1/4²+……+1/n²，当n→+∞，其极限是π²/6

只有这个了：）

Answer 4

1的平方+2分之一的平方+3分之一的平方+4分之一的平方+.....n分之一的平方+....
=π²/6

Answer 5

好像没有关于1/n²的和的通项公式
1/1²+1/2²+1/3²+1/4²+……+1/n²，当n→+∞，其极限是π²/6

追问

请您告诉我下能不能用不等式求出这个式子的范围？应该怎么做？

追答

1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+……+1/n^2<1/1*3+1/2*4+1/3*5+....+1/(n-1)(n+1)
=1+1/2(1-1/3+1/2-1/4+1/3-1/5+...+1/n-1-1/n+1)
=1/2(1+1/2-1/n-1/n+1)+1
<3/4+1<1.75

Answer 6

1.645....