Question

如图，E，F，G，H是菱形ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点，且AE=CF=CG=AH。求证：EG=FH。

Answer 1

∵四边形ABCD是菱形
∴AD=CD=BC=AB，
∵AE=CF=CG=AH
∴BE=BF=DG=DH
∴角AEH=AHE=CFG=CGF
角BEF=BFE=DGH=DHG
因为角aeh+feh+bef=180（平角）
角ahe+ehg+ghd+180
角bfe+efg+gfc=180
角fgc+fgh+hgd=180
所以 角feh=ehg=hgf=gfe
因为feh+ehg+hgf+gfe=360（四边形内角和360）
所以角feh=ehg=hgf=gfe=90
所以四边形ehgf为矩形（有三个内角为直角的四边形是矩形）
所以eg=fh（矩形对角线相等）
eg fh互相平分（矩形对角线互相平分）

Answer 2

证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADC=∠ABC，AD=CD=BC=AB，
∵CG=AE，
∴∠GDH=∠EBF，DG=BE，
在△GDH和△EBF中，
{DG=BE∠GDH=∠EBFDH=BF，
∴△GDH≌△EBF，
∴GH=EF，
同理EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
∴EG=FH

Answer 3

可能有点烦...
连接DE、BH
边角边证△ABH≌△ADE
得到∠ABH=∠ADE。BH=DE
又∵∠B=∠D（菱形）
∴∠HBC=∠EDC
∵BC=DC。CF=CG
∴BF=DG
然后边角边证△HBF≌△EDG
然后EG=FH

Answer 4

证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADC=∠ABC，AD=CD=BC=AB，
∵CG=AE，
∴∠GDH=∠EBF，DG=BE，
在△GDH和△EBF中，
{DG=BE∠GDH=∠EBFDH=BF，
∴△GDH≌△EBF，
∴GH=EF，
同理EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
所以EG=FH

Answer 5

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