Question

在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD相交于点O。求直线A1B与平面ACC1A1所成的角

（2）求二面角A1-BD-A的正切值

Answer 1

第一个问题：
∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴ABCD是正方形，∴BO⊥AC、BO＝AC/2。
∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴AA1⊥平面ABCD，∴BO⊥AA1。
由BO⊥AC、BO⊥AA1、AA1∩AC＝A，得：BO⊥平面ACC1A1，
∴∠BA1O为A1B与平面ACC1A1所在的角。
∵∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴A1B＝AC，又BO＝AC/2，∴BO＝A1B/2，
∴∠BA1O＝30°。
即A1B与平面ACC1A1所在的角为30°。

第二个问题：
∵BO⊥平面ACC1A1，∴AO⊥BD、A1O⊥BD，∴∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角。
容易求出：AO＝√2a/2，∴tan∠A1OA＝AO/A1A＝（√2a/2）/a＝√2/2。
∴二面角A1－BD－A的正切值为√2/2。