Question

一道初二数学证明题

已知：如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，AD和BE相交于点F，AC与BE相交于G点，AD与CE相交于H点，联结GH

试说明△CGH的形状

Answer 1

多年不学了，有些生疏，一种比较笨的方法：
做辅助线BF//CE
且EF//BC
连接AF
DF
显然
三角形AEC全等DBF全等AEF
所以
AC=DF=AF
角AFD=AFE+EFD=DFB+EFD=DFB+BDF=180-FBD=180-120=60
所以
三角形AFD是等边三角形
所以
AD=AF=FD=AC

Answer 2

解：三角形CGH应该为正三角形，证明如下：
由已知条件有：AC=BC,CD=CE,角ACD=120度=角BCE
即三角形ACD全等于三角形BCE
所以角FDE=角ADC=角BEC=角FEC
即F、E、C、D四点共圆
连接FC，则角CFD=角CED=60度
同理可得角CFB=60度
即角GFH=角CFB+角CFD=120度
而角GCH=180度-60度-60度=60度，
即角GCH+角GFH==180度，
所以G、C、H、F四点共圆，
故角CGH=角CFH=60度；角CHG=角CFG=60度
在三角形GHC内，三内角均为60度，即三角形GHC为等边三角形

Answer 3

等边三角形
主要证明步骤：边角边证明三角形ACD和三角形BCE全等。可得角CBG=角CAH
再由角边角证明三角形CBG和三角形CAH全等 所以CG=CH，又角GCH=60° 所以等边。

Answer 4

因为GE
‖
CA
所以∠DGE=∠DCA
因为CD垂直于AB
所以∠
BEG+∠
DGE=
90°
因为∠
ACB=
90°
∠
BCG+∠
DCA=
90°
所以∠
BEG=
∠BCG
因为BF平分∠
ABC
所以∠
GBC=∠
GBE
所以△BGC全等于△BGE（公共边BG，角角边证明全等）
由全等三角形可得CG=GE，∠BGC=∠BGE
因为∠CGF=180°-∠BGC
∠EGF=180°-∠BGE
所以∠CGF=∠EGF即GF是∠CGE的角平分线
由CG=GE得等腰三角形CGE
FG垂直平分CE（等腰三角形角平分线垂直平分底边）
∠GCE=∠GEC
因为GE
‖
CA
所以∠FCE=∠GEC
∠GCE=∠FCE
CE平分∠GCF
CE垂直GF
CE垂直平分FG
所以CE和FG互相垂直平分

Answer 5

过A点做AF垂直于BC交BC于F
在直角三角形AFD中，∠ADB=60°，则，∠FAD=30°
则FD=AD/2
FD=FB+BD,AD=AE+ED
在三角形DBE中，DE=DB，∠ADB=60°，则三角形DBE为等边三角形
BE=BD
在等腰三角形ABC中，AB=AC
AF垂直于BC
则CF=BF
FD=AD/2
上式左边=FB+BD=BC/2+BE
上式右边=(AE+ED)/2=(AE+BE)/2
两边相等得
BC/2+BE=(AE+BE)/2
AE=BC+BE