Question

已知函数f(x)=x^2-2lxl-1,求证:f(x)在[-1,0)上是增函数

（2）判断函数的奇偶性 （3）指出函数的单调区间

Answer 1

解：
(1)证明：
在x∈[-1,0)时，f(x)=x²+2x-1
当-1≤x1<x2<0时，x1+x2+2>0，有：
f(x2)-f(x1)=(x2²+2x2-1)-(x1²+2x1-1)=(x2²-x1²)+2(x2-x1)=(x2+x1+2)(x2-x1) >0
根据定义，有
f(x)在[-1,0)上是增函数
(2) f(x)=x²-2|x|-1
那么 f(-x)=(-x)²-2|-x|-1=x²-2|x|-1=f(x)
所以函数f(x)是偶函数
(3)由(1)和(2)可知：
f(x)在[-1,0)上是增函数，那么f(x)在(0,1]上是减函数
当x<-1时，f(x)=x²+2x-1
取x1<x2<-1,有 x1+x2+2<0.那么：
f(x2)-f(x1)=(x2²+2x2-1)-(x1²+2x1-1)=(x2²-x1²)+2(x2-x1)=(x2+x1+2)(x2-x1) >0
即f(x)在x<-1上是减函数，
由偶函数性质，函数f(x)在x>1时是增函数
那么，就有：
函数的单调增区间是： [-1,0) ,(1,+∞)
函数的单调减区间是： (﹣∞,-1) ,[0,1]

Answer 2

1、因为在这个区间上x<0，所以函数化简为f(x)=x^2+2x-1，求导得2x+2，在所给区间上导数恒大于零，所以单调递增
2、分正负讨论，定义域为全部实数，为对称区间。
x>=0时,f(x)=x^2-2x-1
f(-x)=(-x)^2-2|-x|-1=x^2-2x-1=f(x)
x<0时，f(x)=x^2+2x-1
f(-x)=(-x)^2-2|-x|-1=x^2+2x-1=f(x)
综上所述，为偶函数
3、x>0，求导，得2x-2
分别令导数大于零和小于零，得x>1时，为增函数，0<x<1时为减函数
x<0，同样的方法
x<-1为减函数，-1<x<0为增函数

Answer 3

（1）因为x 在[-1，0）上，所以f(x)=x^2+2x-1, 对函数求导得f(x)'=2x+2, l令f(x)'=0得x=-1,在（-∞,-1)上f(x)'<0; 在[-1，0）上f(x)'>0可得函数在[-1，0）上单调增
（2）f(-x)=(-x)^2-2|-x|-1=x^2-2|x|-1=f(x)所以函数f(x)为偶函数
（3）（-∞，-1）上单调减，[-1，0)上单调增。（0，1）上单调减，（1，+∞）单调增
注：当x>0是讨论函数f(x)=x^2-2x-1的单调性，方法同一