Question

复指数函数是如何定义的呢？正在学复变啊，它是由欧拉公式推出的吗？还是欧拉公式是由它推出的？

Answer 1

复指数函数的定义即为 e^(x+iy)=e^x(cosy+isiny)
这是定义，也就不是任何东西所推导出的。

当然，我们之所以这样定义，确实有形式上的考虑。

当然也可以把复指数函数 e^z 定义为幂级数 1+z+z^2/2+z^3/3!+...，则此时需要证明欧拉公式。

Answer 2

设z=x+iy
复数的指数函数定义为e^z=e^x(cosy+isiny)
可以看成由欧拉公式推导的吧e^iy=cosy+isiny
欧拉公式的一个证法是考虑幂级数展开,e^ix=cosx+isinx
证明过程请参考我团522的贡献http://zhidao.baidu.com/question/337302243.html