Question

已知椭圆x^2/4+y^2=1上任意一点M（除短轴端点外）与短轴两端点B1,B2的连线分别与x轴关于P,Q两点，

用参数解答的方法哦

Answer 1

易知，椭圆x²/4+y² =1短轴两端点B1,B2的坐标分别为(0，1)，(0，-1)
设椭圆上任意一点M(2cosθ，sinθ)，θ ∈[0，2π)且θ ≠π/2，θ ≠3π/2
由两点式得到B1M所在的直线方程为
(y-1)/(sinθ-1)=x/2cosθ (1)
在(1)中令y=0，得到P点的坐标为( 2cosθ/(1-sinθ)，0)
同理，B2M所在的直线方程为
(y+1)/(sinθ+1)=x/2cosθ (2)
Q的坐标为( 2cosθ/(1+sinθ)，0)
所以　|OP1|•|OP2|=|2cosθ/(1-sinθ)|•||2cosθ/(1+sinθ)|=4co²sθ/(1-sin²θ)=4

Answer 2

设M(x0,y0),P(p,0),Q(q,0).
由直线方程的截距式及M,P,B1三点共线,
x0/p-y0/b=1,
p=bx0/(b+y0),
同理
q=bx0/(b-y0).
|OP|·|OQ|=|pq|=b^2x0^2/(b^2-y0^2)
由椭圆方程
x0^2=a^2(b^2-y0^2)/b^2
|OP|·|OQ|=a^2为定值

Answer 3

问题不全

追问

O为椭圆的中心，求证：|OP|*|OQ|为定值