Question

求不定积分∫dx/[x+(1-x^2)^(1/2)]

Answer 1

令x＝siny，则：√（1－x^2）＝√［1－（siny）^2］＝cosy，　y＝arcsinx，　dx＝cosydy。
原式＝∫［cosy/（siny＋cosy）］dy
　　＝∫｛cosy（cosy－siny）/［（cosy）^2－（siny）^2］｝dy
　　＝∫［（cosy）^2/cos2y］dy－∫（sinycosy/cos2y）dy
　　＝（1/2）∫［（1＋cos2y）/cos2y］dy－（1/2）∫（sin2y/cos2y）dy
　　＝（1/4）∫（1/cos2y）d（2y）＋（1/2）∫dy－（1/4）∫（sin2y/cos2y）d（2y）
　　＝（1/2）y＋（1/4）∫［cos2y/（cos2y）^2］d（2y）＋（1/4）∫（1/cos2y）d（cos2y）
　　＝（1/2）arcsinx＋（1/4）∫｛1/［1－（sin2y）^2］｝d（sin2y）＋（1/4）ln｜cos2y｜
　　＝（1/2）arcsinx＋（1/4）ln｜1－2（siny）^2｜
　　　＋（1/4）∫｛1/［（1＋sin2y）（1－sin2y）］｝d（sin2y）
　　＝（1/2）arcsinx＋（1/4）ln｜1－2x^2｜
　　　＋（1/8）∫［1/（1＋sin2y）］d（sin2y）＋（1/8）∫［1/（1－sin2y）］d（sin2y）
　　＝（1/2）arcsinx＋（1/4）ln｜1－2x^2｜＋（1/8）∫［1/（1＋sin2y）］d（1＋sin2y）
　　　－（1/8）∫［1/（1－sin2y）］d（1－sin2y）
　　＝（1/2）arcsinx＋（1/4）ln｜1－2x^2｜＋（1/8）ln｜1＋sin2y｜
　　　－（1/8）ln｜1－sin2y｜＋C
　　＝（1/2）arcsinx＋（1/4）ln｜1－2x^2｜＋（1/8）ln｜1＋2sinycosy｜
　　　－（1/8）ln｜1－2sinycosy｜＋C
　　＝（1/2）arcsinx＋（1/4）ln｜1－2x^2｜＋（1/8）ln｜1＋2x√（1－x^2）｜
　　　－（1/8）ln｜1－2x√（1－x^2）｜＋C