Question

求Lim n→∞ xn，设x1=根号2，x2=根号(2+根号2)，… ，xn=√(2+√(2+…

求Lim n→∞ xn，设x1=根号2，x2=根号(2+根号2)，… ，xn=√(2+√(2+…+√2))，(n重根号)

Answer 1

先证明{xn}极限存在，然后再求lim n→∞ xn

首先证明{xn}单调增加：x2==√(2+√2）>√2=x1,若xn>xn-1,则有

xn=√（2+xn）>√(2+xn-1)=xn

有归纳法可知{xn}单调增加

其次证明{xn}是有界变量：x1=√2<2,若xn<2,则有xn+1=√（2+xn）<√(2+2)=2.从而有归纳法可知{xn}由上界

由单调有界准则知Lim n→∞ xn存在。不妨设Lim n→∞ =a，由等式xn+1=√（2+xn）两端取极限得

a=√（2+a),即a^2-a-2=0且a>√2

解方程可知a=2，故Lim n→∞ xn=2

极限思想的思维功能

极限思想在现代数学乃至物理学等学科中，有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。

借助极限思想，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从“直线构成形”认识“曲线构成形”，从量变去认识质变，从近似认识精确。

Answer 2

你好！
先证明{xn}极限存在，然后再求lim n→∞ xn
首先证明{xn}单调增加：x2==√(2+√2）>√2=x1,若xn>xn-1,则有
xn=√（2+xn）>√(2+xn-1)=xn
有归纳法可知{xn}单调增加。
其次证明{xn}是有界变量：x1=√2<2,若xn<2,则有xn+1=√（2+xn）<√(2+2)=2.从而有归纳法可知{xn}由上界
由单调有界准则知Lim n→∞ xn存在。不妨设Lim n→∞ =a，由等式xn+1=√（2+xn）两端取极限得
a=√（2+a),即a^2-a-2=0且a>√2.
解方程可知a=2.故Lim n→∞ xn=2

Answer 3

设Lim n→∞ xn=C
C^2=Lim n→∞ xn^2
=Lim n→∞2+根号(2+根号2)，… ，xn
=2+C
即C^2-C-2=0
（C-2)(C+1)=0
xn>0
∴C=2
∴Lim n→∞ xn=2

Answer 4

n→∞
xn=x(n-1)（接近等于）
xn^2=x(n-1)+2=xn+2（接近）
xn^2-xn-2=0
xn=2,xn=-1(不合，舍去）
所以：Lim n→∞ xn=2