Question

定义在R上的函数f(x)满足，如果对任意X1,X2∈R，都有f(x1+x2／2)≦1/2,[f(x1),f(x2)],则称函数f(x)是R上的

定义在R上的函数f(x)满足，如果对任意X1,X2∈R，都有f(x1+x2／2)≦1/2,[f(x1),f(x2)],则称函数f(x)是R上的凹函数。已知函数f(x)=ax2+x(a∈R且a≠0）
求证：(1)当a>0时，函数f（x）是凹函数
（2）如果x属于[0,1],|f(x)|<1，求实数a的取值范围

Answer 1

(1)当a>0时，设P(x1，y1)、Q(x2，y2)是函数f(x)=ax²+x上任意两点，

则PQ的中点M( (x1+x2)/2，(y1+y2)/2 )在抛物线的内部，

设抛物线上N点的坐标为(  (x1+x2)/2，f[(x1+x2)/2])，则由图像知M在N的上方，

所以 f[(x1+x2)/2]≤(y1+y2)/2，即f[(x1+x2)/2]≤[f(x1)+f(x2))/2 ,当且仅当x1=x2时取等号。

所以函数f（x）是凹函数

(2) x属于[0,1],|f(x)|<1，即

      -1<ax²+x<1，x∈[0,1]

当x=0时，上式显然成立，a可取任意实数；

当x≠0时，不等式可化为   (-1-x)/x²<a<(1-x)/x²,x∈(0,1]

所以 [(-1-x)/x²]max<a<[(1-x)/x²]min，x∈(0,1]

即      -2<a<0

注：函数g(x)=(-1-x)/x²，h(x)=(1-x)/x²的最大值和最小值，可用导数来求。如

   g(x)=-1/x²- 1/x，x∈(0,1]

     g'(x)=2/x³ +1/x² >0

所以最大值为g(1)=-2.

Answer 2

f(x1+x2／2)≦1/2,[f(x1),f(x2)],你表达式都写错了，应该是f(x1+x2)/2<=1/2*[f(x1)+f(x2)].
第一问：直接将不等式f(x1+x2)/2<=1/2*[f(x1)+f(x2)]代入表达式f(x)=ax2+x，化简得到
0<=a*(x1+x2)2，a>0恒成立，故得证。
第二问：a>=0显然不行；f(x)=x*(a*x+1)过原点和（-1/a,0），考虑对称轴(-1/2a,y)和零点(-1/a,0)
的位置，分情况讨论。