Question

一道随机过程的题目，高分悬赏，有点实力的进！！！

某系统遭受冲击。记N(t)为该系统截止到某时刻t受到的冲击总数，它是参数为λ的的泊松过程。第k次冲击对系统的损害大小为Y_k，它服从参数为μ的指数分布（k=1,2，…）并且相互独立。记X(t)为系统受到的总损害，当总损害超过一定的极限α时，系统寿命终止。记T为系统寿命，求其期望ET。

Answer 1

第k次冲击对系统的损害大小为Y_k，它服从参数为μ的指数分布
请问k起什么作用？
记N(t)为该系统截止到某时刻t受到的冲击总数，它是参数为λ的的泊松过程
请问t又有什么作用？
分布的参数和k，t都无关，t根本没法算，题目有问题

追问

k是下标啊，表示第k次的Y

t是泊松过程的时间啊

书上的习题怎么可能有问题

追答

记N(t)为该系统截止到某时刻t受到的冲击总数，它是参数为λ的的泊松过程
那么E(N(t))＝λt
第k次冲击对系统的损害大小为Y_k，它服从参数为μ的指数分布
说明E(Y(k))＝1╱μ
综上，我们有E(X(t))＝
E（N(t)Y(k))＝E(N(t))E(Y(k))＝
λt╱μ
令E(X(t))＝α，解得t＝μα╱λ
所以ET＝μα╱λ
一开始没搞懂你的意思，你看看我和答案对上没

追问

和答案一样 但我觉得你这个有问题 看了别人写的，满满一页纸

关键是，你的N(t)*Y(k)没有意义啊，自变量都不一样。N(t)是某时间受到的冲击总次数（同一个时间只来一个冲击，来的时间不定，满足泊松过程），Y(k)是第k次冲击的伤害，这两个怎么能乘？

追答

这，我一天吃3顿饭，一个星期有7天，那我一星期不是吃3×7＝21顿饭吗

追问

你没理解我意思 N（t）是累加的，从开始受到冲击计算，每来一次冲击加一个，是总数啊。

泊松过程啊！

追答

是总数啊，是受到损伤的总次数啊，总损伤次数乘以单次损伤程度不就等于总的损伤程度嘛

追问

哎，只能说你这样算是巧合吧，但是和答案挺像（答案还要多加一个 1除以lamda），但是过程说不通，至少这样证明是不严密的。两个东西自变量都不一样嘛怎么能乘

追答

……

Answer 2

首先：由于系统的冲击次数是参数为λ的 泊松过程，所以在t时间段内，发生了λt次冲击事件。（根据泊松过程的期望E(N(t))=λt)

又因为：根据题意E(X(t))=α，α为所受的总损害，且每次损害都独立且同分布。
每次损害的大小为1/μ,（因为E(Y_k)=1/μ,指数分布的期望），
所以在时间段t内，发生的冲击次数=总损害/每次损害的大小=α/(1/μ)=αμ。

综上说述，λt=αμ，
所以，t=αμ/λ。
t就是期望ET。

Answer 3

- - 好难！！！