Question

X(n)-X(n-1)=n(n+1)/2.求数列

Answer 1

xn-x(n-1)=n(n+1)/2=(n²+n)/2
x(n-1)-x(n-2)=(n-1)n/2=[(n-1)²+(n-1)]/2
…………
x2-x1=2×3/2=(2²+2)/2
累加
xn-x1=(1/2)[(2²+3²+...+n²)+(2+3+...+n)]
xn=x1+(1/2)[(1²+2²+3²+...+n²)+(1+2+3+...+n)-2]
=x1+(1/2)[n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2-2]
=x1+(2n³+6n²+4n-12)/12 这就是所求的通项公式。

Answer 2

X(n) －X(n-1)＝n(n＋1)/2＝1/2(n²＋n)
X(n-1)－X(n-2)＝1/2[(n－1)²＋(n－1)]
X(n-2)－X(n-3)＝1/2[(n－2)²＋(n－2)]
… … … …
X(2)－X(1)＝1/2(2²＋2)
以上各式相加得：X(n)－X(1)＝1/2﹛[n²＋(n－1)²＋…＋2²]＋[n＋(n－1)＋…＋2]﹜
＝1/6 n(n＋1)(n＋2)－1
∴X(n)＝1/6 n(n＋1)(n＋2)－1＋X(1)

Answer 3

缺首项令x1=1
X(n)-X(n-1)=n(n+1)/2
X(n-1)-X(n-2)=(n-1)n/2
X(n-2)-X(n-3)=(n-2)(n-1)/2
:
x2-x1=2*3/2
等式两边相加得
X(n)-x1=1/2*1/3n(n+1)(n+2)-1
X(n)=1/6*n(n+1)(n+2)