Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴交于a，与y轴交于点b，点c（-2,0）。求s△abc

2.过点o作od⊥bc交ab于d，求d点坐标；3.若直线y=kx-k与线段bd有交点，求k的取值范围。

Answer 1

解：
1）直线y=x+4 与x、y轴的交点A、B坐标为：（-4,0）、（0, 4）
s△ABC=(1/2)*|AC|*|OB|=(1/2)×2×4=4

2）直线BC的斜率为：（4-0）/(0-(-2))=2
∵ OD⊥CD
∴ OD的斜率为： -1/2
直线OD的方程为： y=-1/2x
与直线AB：y=x+4 联立方程
解得x=-8/3,y=4/3
∴ D(-8/3,4/3)

3)因为直线y=kx-k一定经过（1，0） （即x=1时，代入得y=0）
过(1,0)和点B(0,4)的直线斜率为：（4-0）/(0-1)=-4
过(1,0)和点D(-8/3,4/3)的直线斜率为：(4/3-0)/(-8/3-1)=-4/11
所以-4<= k <= -4/11

解法2：直线y=kx-k与直线AB：y=x+4 的交点横坐标为：
x=(k+4)/(k-1)
因为交点在DB线段内，所以 -8/3 <= x <= 0
由 (k+4)/(k-1)<=0 可得 -4 <= k <1
由 (k+4)/(k-1) >=-8/3 可得 k>1 或 k<= -4/11
即 -4<= k <= -4/11

Answer 2

（1）A(-4,0),B(0,4)三角形ABC的面积=4
（2）过A作AE垂直x轴交OD的延长线于E，则三角形BOC全等于三角形OEA,
AE=OE=2 E(-4,2)
直线OE的解析式：Y=-1/2X
联立Y=-1/2X, Y=X+4得：X=-8/3 Y=4/3
D(-8/3,4/3)
(3)-4<=K<=-4/11

Answer 3

1）s△ABC=(1/2)*AC*h=(1/2)×2×4=4

2）设经过B、C的直线为y=ax+b，则：
b=4,a=2,
所以y=2x+4
因为点OD⊥BC交AB于D，
所以过O、D的直线为y=(-1/2)x+b,
将(0,0)代人，得b=0,
所以过O、D的直线为y=-x/2,
解方程组：
y=x+4,
y=-x/2
解得x=-8/3,y=4/3
所以D(-8/3,4/3)

3)因为直线y=kx-k一定经过（1，1）
过(1,1)和点B的直线为y=-4x+4
过(1,1)和点D的直线为y=-x/11+1/11
所以-4<k<-1/11

Answer 4

解法2：直线y=kx-k与直线AB：y=x+4 的交点横坐标为：
x=(k+4)/(k-1)
因为交点在DB线段内，所以 -8/3 <= x <= 0
由 (k+4)/(k-1)<=0 可得 -4 <= k <1
由 (k+4)/(k-1) >=-8/3 可得 k>1 或 k<= -4/11
即 -4<= k <= -4/11

Answer 5

由A、B两点坐标，抛物线可表示为y=a(x+2)(x-4)=ax^2-2ax-8a
得b=-2a,c=-8a
由C点坐标，x=0,y=4,得c=4,所以a=-0.5,b=1
抛物线表达式为: y=-0.5x^2+x+4
(2) 已知抛物线的对称轴为x=1,即直线l方程为：x=1, 点D坐标为(1,0)
连线B、C两点，与直线l交于点P，易证这时AP+CP的值最小。
因A、B两点关于直线l对称，所以AP=BP,故AP+CP=BP+CP=BC
在l上任取一点P‘，显然有CP'+BP'>BC,所以AP+CP的值最小。
易得直线BC的方程为y=-x+4,与x=1联立，得P点坐标为(1,3)。
可得直线AP的方程为y=x+2，直线AP、BC的斜率之积等于-1,所以两直线垂直。
而AP为圆A的半径，故BP与圆A相切于点P。
(3) 显然等腰△ACP存在。
当AP=CP时，点P为AC的垂直平分线与直线l的交点，易得点P坐标为(1,1)；
当AC=PC时，点P为以C为圆心，AC为半径的圆与直线l的交点，
得点P坐标(1,4+根号19) 或(1,4-根号19)；
当AC=AP时，点P为以A为圆心，AC为半径的圆与直线l的交点，
得点P坐标(1,根号11) 或(1,-根号11)
综合知，所有符合条件的点P坐标有(1,1),(1,4+根号19) ,(1,4-根号19),(1,根号11) ,(1,-根号11)