Question

设函数f(x)=根号（x^2+1） - ax,其中a＞0,证明：当a≥1时f(x)在区间[0,+&)上是减函数

P.S.我百度了一下关于这道题的答案表示看不懂。。求高手们请教下= =
【导数神马的我没学过哦。。】

Answer 1

设x1>x2>0，x1-x2>0

f(x1)-f(x2)
=[√(x1^2+1)-ax1]-[√(x2^2+1)-ax2]
=[√(x1^2+1)-√(x2^2+1)]-a(x1-x2)

其中√(x1^2+1)-√(x2^2+1)>0
[√(x1^2+1)-√(x2^2+1)]^2
=(x1^2+1)+(x2^2+1)-2[√(x1^2+1)√(x2^2+1)]
=x1^2+x2^2-2[√(x1^2+1)(x2^2+1)-1]
<x1^2+x2^2-2(x1*x2)
<(x1-x2)^2

即√(x1^2+1)-√(x2^2+1)<x1-x2
√(x1^2+1)-√(x2^2+1)-(x1-x2)<0

故当a≥1时，有
f(x1)-f(x2)<0
f(x1)<f(x2)

故当a≥1，x1>x2>0时恒有f(x1)<f(x2)
即f(x)在区间[0,+&)上是减函数

追问

呃，=x1^2+x2^2-2[√(x1^2+1)(x2^2+1)-1]
<x1^2+x2^2-2(x1*x2)
这步是怎么得到的？

追答

[√(x1^2+1)(x2^2+1)-1]^2=(x1*x2)^2+x1^2+x2^2-2√(x1^2+1)(x2^2+1)+2
其中x1^2+x2^2-2√(x1^2+1)(x2^2+1)+2=[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]^2>0
故[√(x1^2+1)(x2^2+1)-1]^2>(x1*x2)^2

再得x1^2+x2^2-2[√(x1^2+1)(x2^2+1)-1]<x1^2+x2^2-2(x1*x2)

Answer 2

你就用反证发，假设在x>0时它不是减函数，
那么，任取0<x1<x2
总有f（x1）<=f(x2)
代入函数求a
得到a<1的
所以就证明了