Question

如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点,P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线

若∠amn=90° （1）求证am=mn（2）若将（1）中的正方形abcd改为三角形abc n是∠acp的平分线上一点 则当∠amn=60°时 结论am=an是否还成立 请说明理由

Answer 1

题目打漏，是正方形abcd改为正三角形abc ，我只证明⑵。⑴的证明留给楼主照样作。

如图，BP是取Q,使⊿NCQ也是正三角形，

设AB＝a,QC＝s,CM＝t,则MB＝a-t

∠Q＝∠B＝60º   ∠QMN＝120º-∠BMA＝∠BAM  ∴⊿ABM∽⊿MQN﹙AAA﹚

s/﹙s+t﹚＝﹙a-t﹚/a      sa＝sa-st+ta-t²   得到a＝s+t   ﹙注意t≠0﹚

MB＝a-t＝s＝NQ   ∴ ⊿ABM≌⊿MQN﹙ASA﹚  AM＝NM  ⊿AMN为正三角形，AM＝AN.

Answer 2

(1)∵AE=MC，

∴BE=BM，

∴∠BEM=∠EMB=45°，

∴∠AEM=135°，

∵CN平分∠DCP，

∴∠PCN=45°，

∴∠AEM=∠MCN=135°

在△AEM和△MCN中：

∵ {∠AEM=∠MCNAE=MC∠EAM=∠CMN

∴△AEM≌△MCN，

∴AM=MN；

（2）仍然成立．

在边AB上截取AE=MC，连接ME，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°，

∴∠ACP=120°，

∵AE=MC，

∴BE=BM，

∴∠BEM=∠EMB=60°，

∴∠AEM=120°，

∵CN平分∠ACP，

∴∠PCN=60°，

∴∠AEM=∠MCN=120°，

∵∠CMN=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠BAM，

∴△AEM≌△MCN，

∴AM=MN．

Answer 3

（1）由题中条件可得∠AEM=∠MCN=135°，再由两角夹一边即可判定三角形全等；
（2）还是利用两角夹一边证明其全等，证明方法同（1）．解答：解：（1）∵AE=MC，
∴BE=BM，
∴∠BEM=∠EMB=45°，
∴∠AEM=135°，
∵CN平分∠DCP，
∴∠PCN=45°，
∴∠AEM=∠MCN=135°
在△AEM和△MCN中：
∵ {∠AEM=∠MCNAE=MC∠EAM=∠CMN
∴△AEM≌△MCN，
∴AM=MN；

（2）仍然成立．
在边AB上截取AE=MC，连接ME，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°，
∴∠ACP=120°，
∵AE=MC，
∴BE=BM，
∴∠BEM=∠EMB=60°，
∴∠AEM=120°，
∵CN平分∠ACP，
∴∠PCN=60°，
∴∠AEM=∠MCN=120°，
∵∠CMN=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠BAM，
∴△AEM≌△MCN，
∴AM=MN．

Answer 4

（1）由题中条件可得∠AEM=∠MCN=135°，再由两角夹一边即可判定三角形全等；
（2）还是利用两角夹一边证明其全等，证明方法同（1）．解答：解：（1）∵AE=MC，
∴BE=BM，
∴∠BEM=∠EMB=45°，
∴∠AEM=135°，
∵CN平分∠DCP，
∴∠PCN=45°，
∴∠AEM=∠MCN=135°
在△AEM和△MCN中：
∵ {∠AEM=∠MCNAE=MC∠EAM=∠CMN
∴△AEM≌△MCN，
∴AM=MN；

（2）仍然成立．
在边AB上截取AE=MC，连接ME，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°，
∴∠ACP=120°，
∵AE=MC，
∴BE=BM，
∴∠BEM=∠EMB=60°，
∴∠AEM=120°，
∵CN平分∠ACP，
∴∠PCN=60°，
∴∠AEM=∠MCN=120°，
∵∠CMN=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠BAM，
∴△AEM≌△MCN，
∴AM=MN．
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