Question

已知α，β是关于x的方程4x²-4mx+m+2=0的两个实根

已知α，β是关于x的方程4x²-4mx+m+2=0的两个实根，m和值时，(α-1)²+(β-1)²有最小值？求出这个最小值。

Answer 1

delta=16m^2-16(m+2)=16(m^2-m-2)=16(m-2)(m+1)>=0---> m>=2 or m<=-1
F(m)=(a-1)²+(b-1)²=a^2+b^2-2(a+b)+2=(a+b)^2-2(a+b)-2ab+2=m^2-2m-(m+2)/(2m)+2
=m^2-2m+3/2-1/m
F'=2m-2+1/m^2
m>=2, F'>4-2>0, F单调增，最小值为F(2)=1
m<=-1,F'<-2-2+1<0,F单调减，最小值为F(-1)=11/2
因此最小值为当m=2时，最小值为1.