Question

直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于点b，过AB两点的抛物线交X轴于另一点c（3,0）

（1）求抛物线解析式 （2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标：若不存在，请说明理由。 图的话没有，希望有人可以想象到图的大概。这是2011湖南湘潭市的中考题

Answer 1

设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，抛物线经过A（0 ，3）B（-1，0）C（3，0）三点。代入解析式y=ax2+bx+c可求得a=-1，b=2，c=3。解析式为y=-x2+2x+3。抛物线的对称轴为x=-b/2a=1,则点Q的坐标为（1，m）。△ABQ是等腰三角形，AQ=BQ,可的m=1，点Q（1，1）；AB=BQ，可的m=√6，点Q（1，-√6），（1，√6）；AB=BQ，可的m=0，m=6。m=6时ABQ在一直线上，够不成三角形。所以Q点坐标：（1，1），（1，-√6），（1，√6），（1，0）。

Answer 2

（1）A（-1，0），B(0,3) y=ax^2+bx+c
a-b+c=0, c=3, 9a+3b+c=0
a=b=-1/4,c=3,y=-1/4x^2-1/4x+3
（2）存在 取AB连线的中点D（-0.5,1.5）做直线DQ与AB垂直，与对称轴交与Q (1,x),
AB 的斜率为3.所以DQ的斜率为(x-1.5)/(1+0.5)=-1/3
x=1 所以Q为（1,1）

Answer 3

2011 湖南湘潭
1 、 设抛物线方程为 y=ax×2+bx+c
由题意，抛物线过 A(-1,0) , B(0,3) , C(3,0) 三点
将三点坐标带入方程，得
a=-1, b=2, c=3
即抛物线解析式为 y=-x×2+2x+3

2、 若使△ABQ为等腰三角形
△ABQ为以AB为底边的等腰三角形
Q一定在AB的垂直平分线上，Q坐标为1，m
QB=QA，m=1，点Q（1，1）、
BA=BQ，m=√6，点Q（1，-√6），（1，√6）
m=0或m=6
m=6时 ABQ在一直线上，够不成三角形。
所以Q点坐标为（1，1）、（1，-√6）、（1，√6）、（1，0）