Question

高等数学中有关拉格朗日定理的问题（有分哟！！）

f(t)=t^2*sin(1/t)[t不等于0] ；0[t=0],在[0,x]上用Lagrange中值定理，得x^2*sin(1/x)=x(2ξsin(1/ξ)-cos(1/ξ)) (0<ξ<x)
即cos(1/ξ)=2ξsin(1/ξ)-xsin(1/x) (0<ξ<x)
当x趋向0+时，必有ξ趋向0+，于是lim(x趋向0+)cos（1/ξ）=0
但不能推出lim(ξ趋向0+)cos（1/ξ）=0
这是为什么？ 老师给的说法是在x趋于0的过程中ξ不一定是连续的趋近0，而可能是跳跃的趋近0，从而使cos（1/ξ）的恒为零，这一点我能理解，但是在同济六版对于罗比达法则的证明过程中也由一个当x趋于0时，ξ趋于0 的过程，那么这里有是怎么保证ξ趋于0 的过程是连续的？如果ξ趋于0 的过程也可能是跳跃的，那证明过程岂不是有错？

Answer 1

对于第一个问题：首先lim(x趋向0+)cos（1/ξ）=0，这里面说明了存在一个那样的ξ满足0<ξ<x，于是对于任意给定的x，我总可以找到一个ξ=1/(2kπ+2/π)<x,满足条件，这个是成立的。
对于lim(ξ趋向0+)cos（1/ξ）=0，这个可是纯粹的ξ于0的逼近，它可不是一个存在性的问题，是一个无限逼近的问题，这样由于它的跳跃性说明极限的不存在。

对于第二个问题：我用的是同济五版，不知道这句话“x趋于0时，ξ趋于0 的过程，那么这里有是怎么保证ξ趋于0 的过程是连续的”的出处，x趋于0时，ξ趋于0这句话肯定是正确的，但这是个存在性问题，这一点一定要明确。就我的教材而言，我认为证明过程是正确的，我的教材关于罗比达有一个前提是：在a的去心邻域内，f’(x),g’(x)都存在，这就说明了f’(x)与f’(ξ)的在x趋近于a时候的相等性，这个与ξ趋近于a时候的f’(ξ)是两码事，详情见第一个解释。

Answer 2

算了，还好我没学高等数学。
复杂的题目。悬赏分15分。