Question

P,Q,R分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,BB1,BC的中点.求证:BD1⊥平面PQR.

Answer 1

∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴ABCD是正方形，∴AC⊥BD。
∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴BB11⊥平面ABCD，∴AC⊥BB1。
由AC⊥BD、AC⊥BB1，得：AC⊥平面BB1D1D，∴BD1⊥AC。
∵P、R分别是AB、BC的中点，∴PR∥AC，∴BD1⊥PR。

∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴AA1B1B是正方形，∴AB1⊥A1B。
∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴BC⊥平面AA1B1B，∴AB1⊥BC。
由AB1⊥A1B、AB1⊥BC，得：AB1⊥平面A1BCD1，∴BD1⊥AB1。
∵P、Q分别是AB、BB1的中点，∴PQ∥AB1，∴BD1⊥PQ。

由BD1⊥PR、BD1⊥PQ，得：BD1⊥平面PQR。