Question

求解微分方程要过程

Kx=m*（x对t的二阶导） 初值条件：t=0，x=x0，（x对t的一阶导）=0；k，m都是常数

Answer 1

首先，令n = k/x，则
nx=x'' (既然都是常数，弄两个不是自找麻烦么？）
令x' = p，则x'' = dx'/dt = dx'/dx dx/dt = pdp/dx
所以方程变为nx = pdp/dx, nxdx = pdp => nx^2 = p^2 +C
因为当x=0时，p=0，代入得到nx^2 = p^2 => p = 根号(n) x或者-根号(n) x
p=dx/dt带入 得到
方程1：dx/dt = 根号(n) x ==> lnx = 根号(n) t +C
当t=0时，x=x0带入得到 lnx0 = C, 所以x= e^(根号(n) t +lnx0) = x0e^(根号(n) t)

方程2：dx/dt = -根号(n) x ==> lnx = -根号(n) t +C
当t=0时，x=x0带入得到 lnx0 = C, 所以x= e^(-根号(n) t +lnx0) = x0e^(-根号(n) t)
方程就是这两个解

追问

因为当x=0时，p=0，代入得到nx^2 = p^2 => p = 根号(n) x或者-根号(n）x
上面的推导有问题吧，应该是x=x0，p=0......此后怎么做？

追答

带入啊？带入后的一阶微分方程这么简单，总得尝试做做吧？什么都不会还玩干嘛

Answer 2

kx=md^2x/dt^2
(k/m)x=d^2x/dt^2
d^2x/dt^2-(k/m)x=0
x''-(k/m)x=0
特征方程
r^2-k/m=0
r1=√(k/m) r2= -√(k/m)
x=C1e^(√(k/m)t)+C2e^(-√(k/m)t)
x'=√(k/m)C1e^(√(k/m)t)+C2(-√(k/m)e^(-√(k/m)t)
x=0,x=x0 x'=0
C1+C2=x0
C1√(k/m)-C2√(k/m)=0
C1=C2=x0/2
解：x=(x0/2)e^(√(k/m)t) +(x0/2) e^(-√(k/m)t)