Question

已知f(x)=loga[(1+x)/(1-x)]求使f(x)>0的x的取值范围

Answer 1

定义域
(1+x)/(1-x)>0
所以(1+x)(1-x)>0
(x+1)(x-1)<0
-1<x<1

(2)f(-x)=loga(1-x)/(1+x)
=loga[(1+x)/(1-x)]^(-1)
=-loga(1+x)/(1-x)
=-f(x)
对定义域上的所有x成立,所以f(x)是奇函数.

(3).(i)0<a<1
那么g(u)=loga(u)是减函数.
f(x)=loga(1+x)/(1-x)的定义域为(1+x)/(1-x)>0 即-1<x<1
为使f(x)>0 又0<a<1 所以(1+x)/(1-x)<1
得x>1,或x<0
综合得 -1<x<0 即为解集

(ii)a>1:则有(1+x)/(1-x)>1,又-1<x<1
故有:1+x>1-x,x>0
所以有:0<x<1

追问

综合得 -1<x<0 即为解集 与 所以有:0<x<1 还需要再求交集或并集吗？

Answer 2

这种题首先要求定义域，由于a未知，还要分情况讨论
定义域 真数大于零
所以 (1+x)/(1-x)>0
即 (x+1)(x-1)<0
定义域为 -1<x<1
(1)当0<a<1 时
g(t)=loga(t)是减函数.
又因为 f(x)=loga(1+x)/(1-x)的定义域为 -1<x<1
为使f(x)>0 又0<a<1 所以(1+x)/(1-x)<1
解得x>0,或x<0
综合得 -1<x<0或0<x<1 即为解集
(2)当a>1时
g(t)=loga(t)是增函数
为使f(x)>0 又0<a<1，则有(1+x)/(1-x)>1,
解得x为空集
综上所述 x的范围是-1<x<0或0<x<1