Question

A=30°，a=2,求三角形ABC面积的最大值

Answer 1

如图AB=2，⊙D半径是2，C在优弧上ACB上移动，当移动到该优弧中点时      三角形    ABC面积最大，   CE=CD+DE=2+   根号3      所以三角形ABC最大面积为（AB×CE)÷2=2+根号3

Answer 2

前已有两答。用正弦定理解答如下。
因为A=30°，不妨设B=75°-θ，C=75°+θ，又a=2，
那么由正弦定理得b=[asin(75°-θ)]/sin30°=4sin(75°-θ)，
△ABC的面积S=(1/2)absinC=4sin(75°-θ)sin(75°+θ)
=4*(1/2)(cos2θ-cos150°)
=2(cos2θ+√3/2)，
显然，当cos2θ=1时S最大，
所以Smax=2(1+√3/2)=2+√3。

Answer 3

S=1/2*bc*sinA
余弦定理 a^2=b^2+c^2-2bccosA
b^2+c^2-√3*bc=4 b^2+c^2>=2bc
(2-√3)bc<=4 bc<=4/ (2-√3 )=4(2+√3)
S=1/2*bc*sinA<=1/2*4(2+√3)*1/2=2+√3
三角形ABC面积的最大值2+√3