Question

计算由平面x=0,y=0,x+y=1所围成的柱体被平面z=0及抛物面x^+y^+z-6=0所截得的立体的体积

请写上过程,谢谢~

Answer 1

xy平面内的直线：x=0，y=0，y=1- x 所围成一个三角形区域；
曲顶柱体下底面：xy平面； 上底面是：z=6- x² - y²
所以，体积：
V=∫∫D[6- x² - y²]dxdy=∫<0,1>dx∫<0,1-x>[6- x² - y²]dy
=∫<0,1>dx[6y- x²y - 1/3y³]|<0,1-x>
=∫<0,1>[6(1-x) - x²(1-x) - 1/3(1-x)³]dx
=∫<0,1>[17/3 - 5x - 2x²+ 4/3 x³ ]dx
=[17/3x - 5/2 x² - 2/3 x³ + 1/3 x^4]|<0,1>
=17/3 - 5/2 - 2/3 + 1/3=16/3 - 5/2=17/6