Question

一道解析几何题

C1:x^2/a^2-y^2/b^2=1(a b>0)的左准线为L，左焦点和右焦点分别为F1和F2，抛物线C2的准线为L，焦点为F2,C1与C2的一个焦点为M，则|F1F2|/|MF1|-|MF1|/|MF2|等于？

Answer 1

题目中应为：M是C1与C2的一个交点。
由于抛物线C2的准线为L，焦点为F2，所以它的开口向右。
于是，M为C2和C1右支上的一个交点。
设M到L的距离为d。
一方面，由抛物线的定义知：|MF2|=d；
另一方面，由双曲线的第二定义知：|MF1|/d=e （e=c/a为离心率）
所以 |MF1|=e•|MF2| (1)
又由双曲线的第一定义知：
|MF1|-|MF2|=2a (2) (M在右支上，所以：|MF1|>|MF2|)
(1)代入(2)得，(e-1)•|MF2|=2a
解得 |MF2|=2a/(e-1)
所以 |MF1|=e•2a/(e-1)=2c/(e-1)
所以 |F1F2|/|MF1|-|MF1|/|MF2|=(e-1) -e=-1