Question

求三角形面积的一道几何题目。

RTabc中A90度，AB=AC，BD=DC，RTdef中edf是90度。
BE=12，FC=5. 求DEF面积。

Answer 1

连接AD 因为∠BAC= 90 AB=AC BD=DC 则AD为△ABC中BC边上的高
且 ∠BAD=∠DAC=45
则∠BDA=∠BDE+∠ADE=90 ∠EDF=∠EDA+∠ADF=90 ∠ADC=∠ADF+∠FDC=90
则 ∠ADE=∠FDC
在△EAD与△FDC中 ∠ADE=∠FDC AD=DC ∠BAD=∠DAC
则△EAD与△FDC全等 则DE=DF AE=FC=5
则AB=BE+AE=CF+AF=17 则AF=12
△AEF为直角三角形 则AE^2+AF^2=EF^2 解得EF=13
△EFD为等腰直角三角形 则ED=FD=13/(√2)
S△DEF=ED*DF/2=[13/(√2)]*[13/(√2)]/2=169/4

Answer 2

解连结CD ∵ AB=AC BD=CD
∴AD 平分∠BAC AD ⊥ BC（等腰三角形三线合一）
∵BAC=90 ∴∠DAB=∠B=∠C=45
∴ AD=BD=CD
∵AD⊥DC ∴∠ADC=90 ∴∠EDF=90
∴∠ADE=∠CDF
∴△AED ≌△CFD （ASA）
∴CE=CF=5 ED=FD
∵AB=AC
∴AF=BE=12
在直角三角形AEF中 由勾股定理得
EF=13
在直角三角形DEF中 ∵ DE=DF EF=13
∴三角形 DEF的面积=13×13÷2÷2=42.25

Answer 3

连接AD
则，由题意得∠EAD=∠C=45°，AD=DC=BD
因为∠ADE+∠ADF=90°，∠ADF+∠FDC=90°
所以∠ADE=∠FDC
又因为在△AED和△CFD中，AD=CD，∠EAD=∠C
所以△AED全等于△CFD，则AE=CF=5，AB=17，ED=FD
所以AF=AC-CF=AB-CF=12，△DEF为等腰直角三角形
在RT△AEF中，由勾股定理得EF=13
所以，ED=FD=13/(根号2)
S△DEF=ED*DF/2=[13/(√2)]*[13/(√2)]/2=169/4

Answer 4

连接AD。则AD是三角形ABC的中位线，根据等腰三角形三线合一，又根据角A和角EDF都是直角。确定四边形AEDE是圆内接四边形，则角BED=角EFD=45度。进一步证明三角形EDF是等腰直角三角形。后面就简单了