Question

一阶线性微分方程y´+xsin2y=x【e^(-x^2)】【cos^2y】 y(0)=1 求y

Answer 1

y´ + x sin2y = x【e^(-x^2)】【cos^2y】
=> sec²y * y' + x * 2tany = x * e^(-x²)
=> u = tany , 原方程化为： u‘ + 2x * u = x * e^(-x²)
一阶线性方程，有公式：
通解 u = e^(-x²) [ ∫ x * e^(-x²) * e^(x²) dx + C]
即 u = e^(-x²) * [ x²/2 + C]
原方程通解: tany = e^(-x²) * [ x²/2 + C]
y(0) = 1 => C = tan1
所求为 tany = e^(-x²) * ( x²/2 + tan1)

Answer 2

y'+x(siny)^2=xe^(-x^2)*(cosy)^2
y'/(siny^2)+x=xe^(-x^2)*(coty)^2
-(coty)'+x=xe^(-x^2)*(coty)^2
(1/coty)'+x/coty=xe^(-x^2)
(tany)'+xtany=xe^(-x^2)
z=tany
z'+xz=xe^(-x^2)
dz/dx+xz=xe^(-x^2)
-dz/d(-x^2)+z/2=e^(-x^2) /2
(-x^2)=u
-dz/du+z/2=e^u/2

-dz/du+z/2=0
dz/du=z/2
dz/z=du/2
lnz=u/2+C0
z=C1e^(u/2)
设z=C(u)e^(u/2)
dz/du=C'(u)e^(u/2)+C(u)e^(u/2)/2
C'(u)e^(u/2)=e^u/2
dC(u)=(e^(u/2))du/2
C(u)=e^(u/2)+C
z=(e^u+Ce^(u/2)

tany=e^(-x^2) +Ce^(-x^2/2)
x=0 y=1 1+C=tan1
C=(tan1-1)
tany=e^(-x^2)+(tan1-1)*e^(-x^2/2)

Answer 3

看不懂