Question

如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆周上不同于AB的点,若AB=2,PA=√3

如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆周上不同于AB的点,若AB=2,PA=√3
角ABC=30°，则二面角P-BC-A的大小是多少？

Answer 1

解：因为PA⊥平面ABC
所以：PA⊥AB，PA⊥AC
所以：△ABP和△ACP都是直角三角形
由已知得知：△ABC是直角三角形，且AC=1，BC=√3
所以：由勾股定理求得PC=2，PB=√7，
所以：在△PBC中，有PB²=PC²+B C²
所以：△PBC是直角三角形
所以：BC⊥PC
而：BC⊥AC
所以：∠PCA就是面PBC和面ABC组成的二面角的平面角。
而：在直角△PAC中，直角边AC=1，斜边PC=2
所以：∠PCA=60°
即：二面角P-BC-A的大小是60°

Answer 2

∵PA=√3，AB=2 ，∠ABC=30°，在圆中AC⊥BC
∴AC=1，BC=√3，PB=√7,PC=2
BC²+PC²=7=PC² ∴PC⊥BC
即所求角为∠PCB,