Question

如图,在等腰梯形ABCD中,对角线AC,BD互相垂直,该梯形的高和中位线有何大小关系

Answer 1

解：过点D作DE‖AC,交BC的延长线于点E.
∵AC⊥BD,DE‖AC
∴BD⊥DE
∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD
在⊿BDE中，BD⊥DE,DE=AC=BD
∴BE=√2BD
梯形的中位线长就等于等腰直角三角形BDE的中位线长，是1/2BE=√2/2BD
∵⊿BDE是等腰直角三角形，
∴BE边上的高是1/2BE=√2/2BD
由此可知：这个梯形的高等于它的中位线长。

Answer 2

设AD=x，BC=y，
由AB=CD,AC⊥BD，
∴AO=x√2/2，CO=y√2/2，
梯形面积=AC²/2，（1）
梯形面积=（x+y）×h/2（2）
由（1）S=[（x+y）²×（√2/2）²]/2=（x+y）²/4.
由（2）S=（x+y）×h/2，
（1）=（2）得：
（x+y）²/4=（x+y）h/2，
∴（x+y）/2=h，
由（x+y）/2是梯形中位线，
所以梯形中位线和高相等。

Answer 3

设AD=x，BC=y，
由AB=CD,AC⊥BD，
∴AO=x√2/2，CO=y√2/2，
梯形面积=AC²/2，（1）
梯形面积=（x+y）×h/2（2）
由（1）S=[（x+y）²×（√2/2）²]/2=（x+y）²/4.
由（2）S=（x+y）×h/2，
（1）=（2）得：
（x+y）²/4=（x+y）h/2，
∴（x+y）/2=h，
由（x+y）/2是梯形中位线，
所以梯形中位线和高相等。