Question

已知:如图,在三角形ABC中,角C=90°,点D,P分别在边AC,AB上,且BD=AD,PE⊥BD,PF⊥AD.当角A=30°，

求证PE+PF=BC
（1）当∠A=30°时，求证：PE+PF=BC
（2）当∠A≠30°时（∠A<∠ABC），试问以上结论是否依然正确？如果正确，请加以证明。如果不正确，请说明理由。

Answer 1

(1)可利用在直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半
∠A=30° PF⊥AD 可证得PF=AD/2
AD=BD 可知∠PBE=30° PE⊥BD 可证得PE=BP/2
所以PE+PF=AD/2+BP/2=AB/2=BC
(2)当∠A≠30°时结论依然成立，过点P作PG⊥BC交BC于点G 可知PE=CG
由AD=BD可知∠A=∠PBD
由PG⊥BC 和AC⊥BC 可知AC∥PG 所以∠A=∠BPG
所以∠PBD =∠BPG
所以△BPF≌△PBG
所以PF=BG
所以PE+PF=CG+BG=BC

Answer 2

证明：过P点作PH⊥BC于H，交BD于G,则PFCH为矩形
∴PH//AC，PF=CH
∴∠BPH=∠A
∵BD=AD
∴∠BPD=∠A
∴∠BPD=∠BPH
∴PG=BG
∵∠PGE=∠BGH
∴RT△PGE≌RT△BGH
∴PE=BH
∴PE+PF=BH+HC=BC
∴无论∠A的大小，上式结论依然成立

追问

当∠A≠30°时（∠A<∠ABC），试问以上结论是否依然正确？如果正确，请加以【证明】（重点）。如果不正确，请说明理由。

追答

你没看我的证明，我压根就没用角a=30，不过我的证明角写的有地方有误

Answer 3

连接DP，△ADB的面积=△DPB的面积+△DPA的面积
1/2×AD×BC=1/2×BD×PE+1/2×PF×AD
BD=AD，PE+PF＝BC