Question

求n的n次方分之n的阶乘的极限

求n的n次方分之n的阶乘的极限，写一下具体的步骤，谢谢啊...

Answer 1

xn=(n!/n^n)^(1/n)。

两边取对数，

lnxn=(1/n)*(ln(1/n)+ln(2/n)+ln(3/n)+···+ln(n/n))。

上式可看成f(x)=lnx。

在[0，1]上的一个积分和。即对[0，1]。

区间作n等分，每个小区间长1/n。

因此当n趋于无穷时，lnxn等于f(x)=lnx在[0，1]上的定积分。

lnx在[0，1]上的定积分为-1。

所以lnxn在n趋于无穷时的极限为-1。

由于xn=e^(lnxn)。

于是xn在n趋于无穷时的极限值为1/e。

对定义的理解：

因为ε是任意小的正数，所以ε/2 、3ε 、ε2等也都在任意小的正数范围，因此可用它们的数值近似代替ε。同时，正由于ε是任意小的正数，我们可以限定ε小于一个某一个确定的正数。

N的相应性　一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。

Answer 2

解：∵0<n!/n^n=1/n*2/n*3/n*……*n/n<1/n
∴
0≤lim n!/n^n=lim 1/n*2/n*3/n*……*n/n≤lim 1/n =0
n->+∞ n->+∞ n->+∞
根据夹逼准则，可知
lim n!/n^n =0
n->+∞