Question

四点共圆超级难度几何题，急！！50分

如图所示，正方形ABCD，角EAF=45度，EG垂直于AC，FH垂直于AC，求证：过H,G,B三点的圆的圆心在BC上。

Answer 1

证明：作过BGH的圆，交BC于P点。

连接BH、DH、BG、GP。

∵ AD⊥DF，AH⊥FH，∴A、D、F、H四点共圆。

∠AFH=∠ADH

∵AB=AD，∠BAH=∠DAH，AH公用，∴ΔABH≌ΔADH

∴∠ABH=∠ADH

∴∠ABH=∠AFH

∴∠PBH=90°-∠ABH=90°-∠AFH=∠FAH

∵∠FAH=∠FAE-∠CAE=45°-∠CAE =∠CAB-∠CAE=∠EAB

∴∠PBH=∠EAB

∵ AB⊥BE，AG⊥GE，∴A、B、E、G四点共圆。

∴∠BGE=∠EAB

∴∠PBH=∠BGE

∵B、G、H、P四点共圆，∴∠HGP=∠PBH

∴∠HGP =∠BGE

∴∠BGP=∠BGE+∠EGP=∠HGP+∠EGP=∠EGC=90°

∴圆BGH的圆心在BC上。

Answer 2

确实有难度。。
B和G、H感觉很难联系起来啊。
标记下，有空再来做。

ewrewr_1 兄弟做的足够完美了。

Answer 3

解析法：设AD为X轴，AB为Y轴，正方形边长为1，<BAE=α，求出G、H点坐标，再求出GH垂直平分线与BC交点坐标，判断此点到G、H、B点距离是否相等，若相等则所求点即为过H,G,B三点的圆的圆心，且在BC边上。

这个方法计算比较复杂，但思路简单。纯粹的几何方法不好想