Question

设函数f(x)在R内有定义,x0是函数f(x)的极大值点,则

A.x0必是-f(-x)的极小值点
B.x0必是-f(x)的极小值点
A,B中选一个,解释一下,谢谢

Answer 1

B

-f(x)与f(x)是关于x轴对称的，那么同一个x0处，f(x)有极大值，则-f(x)一定有极小值。

而A选项中，f(-x)与f(x)关系不明，有可能是关于原点对称（即f(x)是奇函数），也有可能关于y轴对称（即f(x)是偶函数），还有可能什么都不是（f(x)即不是奇函数也不是偶函数）。因此f(-x)函数图像上在x0处极值是否存在，都难说，与f(x)在x0上存在极大值更是没有多大关系。-f(-x)只不过是f(-x)的反转，既然f(-x)是什么情况都搞不清楚，-f(-x)自然也是一样搞不清楚的。

你可以举个例子观察一下就明白了。
如二次函数 f(x)=-(x-2)²+3，在x=2处存在极大值3。
但f(-x)=-(-x-2)²+3=-(x+2)²+3，在x=-2处存在极大值3；在x=2处，则不存在极值，此点处函数值是-13，既非f(-x)函数的最大值，也非最小值，只是一个普通值而已。

也就是说，你可以把f(-x)理解成是一个与f(x)无关的新的函数，它的函数表达式与f(x)的函数表达式是不一样的。这样，你就理解了为什么在x0处对f(x)有极值，而对f(-x)却没有极值的道理了。

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以下是对于“西域牛仔王”的回复说明：
首先，感谢你指出我分析中的错误之处。确实如你所说，f(x)、f(-x)这两个函数的图像的确关于y轴对称。

我在这一段中的分析确实存在问题：
“而A选项中，f(-x)与f(x)关系不明，……”

我把f(x)函数图像自身关于原点对称或关于y轴对称，此处所说的“对称”，与f(x)、f(-x)两种函数图像之间的对称，搞混淆了。其实一个是对一个函数图像而言的，另一个是对两个函数图像而言的。

f(x)、f(-x)两个函数的图像关于y轴对称，此对称现象只能说明f(x)在x0处有极值，f(-x)在-x0处一定也有极值；但无法保证f(-x)在x0处也有极值。

所以虽然俺中间的分析有点问题，但结论没错。

Answer 2

选B。

A中应是 -x0是 -f(-x)的极小值点。