Question

求一道初二数学几何题的解

（如图所示）梯形ABCD中,CD∥AB,CM平分∠BCD交DA与点M,若AB+CD=BC
（1）求证BM⊥MC
（2）求证AM=DM
（3）若△CDM、△CBM、△ABM的面积分别为S1,S2，S3，试直写出S1,S2，S3之间的关系

Answer 1

证明：分销卖别延长CM、 BA交哗陆于点N，

梯形ABCD中,CD∥AB 所以乱斗顷∠1=∠N，

又CM平分∠BCD     所以∠1=∠2   ，所以∠N=∠2  得BC=BN=AB+AN    因为AB+CD=BC，

所以CD=AN  因此△CDM全等于△NAM, 所以  S1=S4    AM=DM   CM=NM  ,BM⊥MC.

由 BC=BN  ，CM=NM  ,可知，等腰三角形三线合一得 BM⊥MC。

由等腰三角形性质，可以知道 S2=S3+S4

所以S2=S3+S1

Answer 2

延长CM交BA延长线好尘于点N
证：（1）∵CD∥AB，∴∠DCM=∠MNB
而∠DCM=∠BCM，∴∠BCM=∠MNB
∴BN=BC
∵AB+CD=BC
∴CD=AN
在△DCM和△ANM中
∵∠DCM=∠MNB，CD=AN，∠AMN=∠CMD
∴△DCM≌△ANM（AAS）
∴CM=MN
而BC=BN，∴BM⊥CN，即BM⊥CM（睁团三线合一）
（2）由友早禅（1）可知△DCM≌△ANM，∴AM=DM
（3）解：S1+S3=S2
由（1）可知△DCM≌△ANM，∴S△AMN=S△CDM=S1
则S1+S3=S△ABM=S△BCM=S2

Answer 3

∵CD∥AB（已知），
∴∠DCM=∠MCB（角平分线定弯迟前义）
∴MN=BC
∵AB+CD=BC
∴CD=AN
在△DCM和旦答△ANM中
∵∠DCM=∠MNB，埋清CD=AN，∠AMN=∠CMD
∴△DCM≌△ANM（AAS）
∴CM=MN
而BC=BN，∴BM⊥CN，即BM⊥CM（三线合一）

Answer 4

延长CM 交AB延长线于E 就可以证明（1）（2）