Question

如图,在平面直角坐标系中,已知点A坐标(2,4),直线x=2与x轴相交于点B,连接OA

如图,在平面直角坐标系中,已知点A坐标(2,4),直线x=2与x轴相交于点B,连接OA，抛物线y=x^2与x橡轴相交于点B，连接OA，抛物线y=x²从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，定点M到A点时停止移动。
（1）求线段OA所在直线的函数解析式
（2）设抛物线定点M的横坐标为m，
①用m的代数式表示点P；
②当m为何值时，线段PB最短；

Answer 1

解：（1）设OA所在直线的函数解析式为y=kx，
∵A（2，4），
∴2k=4，
∴k=2，
∴OA所在直线的函数解析式为y=2x．（2分）

（2）①∵顶点M的横坐标为m，且在线段OA上移动，
∴y=2m（0≤m≤2）
∴顶点M的坐标为（m，2m）
∴抛物线函数解析式为y=（x-m）2+2m
∴当x=2时，y=（2-m）2+2m=m2-2m+4（0≤m≤2）
∴点P的坐标是（2，m2-2m+4）．（2分）
②∵PB=m2-2m+4=（m-1）2+3，
又∵0≤m≤2，
∴当m=1时，PB最短．
此时抛物线的解析式为y=（x-1）2+2．（2分）

（3）由（2）②知：P（2，3），M（1，2）；
则PM= 2；
①PM=PN= 2，则N1（2，3+ 2），N2（2，3- 2）；
②PM=MN，根据等腰三角形三线合一的性质知：N3（2，1）；
③PN=PM，此时∠PMN4=∠N4PM=∠PM3M，则：
△PMN4∽△PN3M，
得：PM2=PN4•PN3，
即：PN4=PM2÷PN3=1，
故N4（2，1）；
综上可知：符合要求的点N的坐标为：
N1（2，3+ 2）；N2（2，3- 2）；N3（2，1）；N4（2，1）．（4分）

（4）当线段PB最短时，此时抛物线的解析式为y=（x-1）2+2，
①过P作直线L∥OA，设直线L：y=2x+h，则有：
4+h=3，h=-1；
∴直线L：y=2x-1，联立抛物线的解析式有：
{y=2x-1y=(x-1)2+2，
解得 {x=2y=3；
此时抛物线与直线L只有一个交点为P（2，3），故此种情况不成立；
②在点A的上方截取AD=AP，即D（2，5）；
过D作直线L′∥OA，设直线L′：y=2x+h′，
则有：4+h′=5，h′=1；
∴直线L′：y=2x+1，联立抛物线的解析式有：
{y=2x+1y=(x-1)2+2，
解得 {x=2+2y=5+22， {x=2-2y=5-22；
抛物线上存在点Q1（2+ 2，5+2 2），Q2（2- 2，5-2 2），使△QMA与△PMA的面积相等．（2分）

Answer 2

解：（1）设OA所在直线的函数解析式为y=kx，
∵A（2，4），
∴2k=4，
∴k=2，
∴OA所在直线的函数解析式为y=2x．（2分）

（2）①∵顶点M的横坐标为m，且在线段OA上移动，
∴y=2m（0≤m≤2）
∴顶点M的坐标为（m，2m）
∴抛物线函数解析式为y=（x-m）2+2m
∴当x=2时，y=（2-m）2+2m=m2-2m+4（0≤m≤2）
∴点P的坐标是（2，m2-2m+4）．（2分）
②∵PB=m2-2m+4=（m-1）2+3，
又∵0≤m≤2，
∴当m=1时，PB最短．
此时抛物线的解析式为y=（x-1）2+2．（2分）

（3）由（2）②知：P（2，3），M（1，2）；
则PM= 2；
①PM=PN= 2，则N1（2，3+ 2），N2（2，3- 2）；
②PM=MN，根据等腰三角形三线合一的性质知：N3（2，1）；
③PN=PM，此时∠PMN4=∠N4PM=∠PM3M，则：
△PMN4∽△PN3M，
得：PM2=PN4•PN3，
即：PN4=PM2÷PN3=1，
故N4（2，1）；
综上可知：符合要求的点N的坐标为：
N1（2，3+ 2）；N2（2，3- 2）；N3（2，1）；N4（2，1）．（4分）

（4）当线段PB最短时，此时抛物线的解析式为y=（x-1）2+2，
①过P作直线L∥OA，设直线L：y=2x+h，则有：
4+h=3，h=-1；
∴直线L：y=2x-1，联立抛物线的解析式有：
{y=2x-1y=(x-1)2+2，
解得 {x=2y=3；
此时抛物线与直线L只有一个交点为P（2，3），故此种情况不成立；
②在点A的上方截取AD=AP，即D（2，5）；
过D作直线L′∥OA，设直线L′：y=2x+h′，
则有：4+h′=5，h′=1；
∴直线L′：y=2x+1，联立抛物线的解析式有：
{y=2x+1y=(x-1)2+2，
解得 {x=2+2y=5+22， {x=2-2y=5-22；
抛物线上存在点Q1（2+ 2，5+2 2），Q2（2- 2，5-2 2），使△QMA与△PMA的面积相等．（2分）

Answer 3

：（1）设OA所在直线的函数解析式为y=kx，
∵A（2，4），
∴2k=4，
∴k=2，
∴OA所在直线的函数解析式为y=2x；
（2）∵顶点M的横坐标为m，且在线段OA上移动，
∴y=2m（0≤m≤2）．
∴顶点M的坐标为（m，2m），
∴抛物线函数解析式为y=（x-m）2+2m．
∴当x=2时，y=（2-m）2+2m=m2-2m+4（0≤m≤2），
∴点P的坐标是（2，m2-2m+4）．

Answer 4

解：（1）设OA所在直线的函数解析式为y=kx，
∵A（2，4），
∴2k=4，
∴k=2，
∴OA所在直线的函数解析式为y=2x.
（2）①∵顶点M的横坐标为m，且在线段OA上移动，
∴y=2m（0≤m≤2）
∴顶点M的坐标为（m，2m）
∴抛物线函数解析式为y=（x-m）²+2m
∴当x=2时，y=（2-m）²+2m=m²-2m+4（0≤m≤2）
∴点P的坐标是（2，m²-2m+40).
②∵PB=m²-2m+4=（m-1）2+3，
又∵0≤m≤2，
∴当m=1时，PB最短．

Answer 5

(1)OA过点O（0，0）和A（2，4）
过OA直线方程为：y=2x
(2)M横坐标为m，有2>=m>=0
则抛物线在移动过程中的方程为：
y=（x-m）²+2x
与x=2联立求得焦点坐标M（2，m²-4m+8）

线段PB最短，则m²-4m+8最小，最小值为4。