Question

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且PA⊥平面ABCD,PA=AD=2，AB=1，BM⊥PD于点M.

（1）求证AM⊥PD（2）求直线CD与平面ACM所成的角的余弦

Answer 1

分析：（1）可通过证明PD⊥平面ABM由线面垂直的性质定理证明AM⊥PD；
（2）法一：求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值，可通过作出其平面角，解三角形求之．
法二：用向量法给出空间坐标系，及各点的坐标，求出直线的的方向向量的坐标以及平面的法向量的坐标，再由公式 sinα=|CD→•n⇀|CD→||n→||求出线面角的正弦值，进而求出余弦值．
解答：菁优网（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB．
∵AB⊥AD，AD∩PA=A，AD⊂平面PAD，PA⊂平面PAD，
∴AB⊥平面PAD．
∵PD⊂平面PAD
∴AB⊥PD，
∵BM⊥PD，AB∩BM=B，AB⊂平面ABM，BM⊂平面ABM，∴PD⊥平面ABM．
∵AM⊂平面ABM，∴AM⊥PD．
（2）解法1：由（1）知，AM⊥PD，又PA=AD，
则M是PD的中点，在Rt△PAD中，
得 AM=2，在Rt△CDM中，得 MC=MD2+DC2=3，
∴ S△ACM=12AM•MC=62．
设点D到平面ACM的距离为h，由VD-ACM=VM-ACD，
得 13S△ACM•h=13S△ACD•12PA．解得 h=63，
设直线CD与平面ACM所成的角为θ，则 sinθ=hCD=63，
∴ cosθ=33．
∴直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为 33．
解法2：如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系A-xyz，
则A（0，0，0），P（0，0，2），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），M（0，1，1）．
∴ AC→=(1，2，0)，AM→=(0，1，1)，CD→=(-1，0，0)．
设平面ACM的一个法向量为 n⇀=(x，y，z)，
由 n⇀⊥AC→，n⇀⊥AM→可得： {x+2y=0y+z=0.
令z=1，得x=2，y=-1．∴ n⇀=(2，-1，1)．
设直线CD与平面ACM所成的角为α，则 sinα=|CD→•n⇀|CD→||n→||=63．
∴ cosα= √3/3．∴直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为 √3/3．