Question

设f(x),g(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，且f(a)=f(b)=0,证明至少存在一点ξ∈（a,b)....

使f '(ξ)g(ξ)+f(ξ)g '(ξ)=0

Answer 1

　　证明：很简单啊,用罗尔定理证明
设F(x)=xf(x),显然函数F(x)在区间[a,b]上连续,在(a,b)内可导,
且F(a)=af(a)=0,F(b)=bf(b)=0,即F(a)=F(b)
所以根据罗尔定理,在(a,b)内至少存在一点ξ,使得F′(ξ)=f(ξ)+ξf′(ξ)=0.
故得证.

Answer 2

令F(x)=f(x)*g(x) F'(x)=f '(x)g(x)+f(x)g '(x)
显然F(a)=f(a)*g(a)=0
F(x)=f(b)*g(b)=0
因为f(x),g(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，所以F(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导
所以存在 ξ 属于（a,b），使得F'(ξ)=0
即f '(ξ)g(ξ)+f(ξ)g '(ξ)=0

Answer 3

构造函数F（x）=f(x)g(x)
则F'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
显然F（x）满足罗尔定理的条件故结论成立