Question

求助题目：积分与不定积分，微分方程 题目，加分谢啦

1，填空题：若∫ f（x）dx=F（x）+c ，则∫ x f（1-x的平方）dx=
2. ∫ xsin2x dx=
3, 极值应用题：设矩形的周长为120cm，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大？
4，极值应用题：欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地，并在正中使用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？
5：证明题： 函数f（x）=x-e的x次方在（-∞，0）是单调增加的。

Answer 1

1、∫ x f（1-x的平方）dx
=1/2∫ f（1-x的平方）dx的平方
=(-1/2)∫ f（1-x的平方）d(1-x的平方)
=(-1/2)F（x）+c
2、∫ xsin2x dx
=1/2∫ xsin2x d2x
=-1/2∫ x dcos2x
=-1/2(xcos2x-∫ cos2x dx)
=(-1/2)xcos2x+1/2∫ cos2x dx
=(-1/2)xcos2x+1/4∫ cos2x d2x
=(-1/2)xcos2x+1/4sin2x+c
3、圆柱体积V＝πr平方h h+2r＝60 h＝60-2r
V＝πr平方h ＝πr平方（60-2r）＝60πr的平方-2πr的3次方
V'＝120πr-6πr的平方
V'＝0 120πr-6πr的平方＝0 r＝20 h＝20
4、设长为x，宽为y，则xy＝216
所用建筑材料f（x）＝3x+2y＝3x+（432/x）（长宽可互换，所以xy是一样的）
f'（x）＝3-432/x的平方 f'（x）＝3-432/x的平方＝0 x＝12
5、f（x）=x-e的x次方
f'（x）＝1-e的x次方
x在（-∞，0），e的x次方<1 所以f'（x）>0，函数单调增加。

追问

高手加我企鹅20149557，还有题目不会做，thankyou

追答

加你了

Answer 2

1、--1/2F（1-x^2)
2、sin2x/4-X*COS2X/2+C
3、设旋转轴的边长为x，另外一边长就为60-x，体积为pi*x*(60-x)^2，求驻点，根据必有最大值知道
x=20，另外一边长为40时体积最大。
4、设中间墙的长度为x，垂直于中间墙的长度为216/x，用料为3*x+2*216/x，求导得驻点为x=12。
5、f的导数为1-e的x次方，当x在(负无穷，0)时，f的导数大于0，故f是单调增加的。

Answer 3

楼上1要加C ，其他都是对的，慢了一步

Answer 4

1.因为∫ f（x）dx=F（x）+c 所以∫ f(1-x^2)d(1-x^2)=∫ -2x f(1-x^2)dx=F(x)+c 所以
∫ x f(1-x^2)dx=(F(x)+c)/(-2)