Question

设函数f（x）在x=0处的某邻域内有二阶连续导数，且f（0）不为0，f'(0)不为0，f''(0)不为0,。转下面

证明，存在唯一的一组实数abc，使得当h趋向于0时，af（h）+bf（2h）+cf（3h）—f（0）是比h^2高阶的无穷小。

Answer 1

先根据一阶导数来表示f(h),f(2h),f(3h)
在(0,h）上，根据导数定义，有 [f(h)-f(0)]/(h-0)=f'(0) 即 f(h) = f(0)+hf'(0)
在(h,2h)上 有[f(2h)-f(h)]/(2h-h)=f'(h) 可得f(2h) = f(h)+ hf'(h) = f(0) + hf'(0) + hf'(h)
在(2h,3h)上 可得f(3h) = f(2h) +hf'(2h) = f(0) + hf'(0) + hf'(h) + hf'(2h)
代入原式会发现除了常数f(0),f'(0)还有与h相关的变量f'(h)和f'(2h)
再通过二阶导数来表示f'(h)和f'(2h)
在(0,h）上 有 f'(h) = f'(0) + hf''(0)
在(h,2h)上 有 f'(2h) = f'(h) + hf''(h) = f'(0) + hf''(0) +hf''(h)
通过三阶导数来表示f''(h)
f''(h) = f''(0) + hf'''(0)

这样代入原式，整理后得到
(a+b+c-1)×f(0) + (a+2b+3c)×f'(0)×h + (b+3c)×f''(0)×h^2 + c×f''(0)×h^3
为了保证这个式子是比h^2高阶的小量，常数项，一次项，二次项系数均为0
a+b+c-1 = 0
a+2b+3c = 0
b+3c = 0
解得 a=3 b=-3 c=1

Answer 2

要证明 af(h) + bf(2h) + cf(3h) - f(0) 为 h^2 的高阶无穷小，只需要证明
lim(h→0)[ af(h) + bf(2h) + cf(3h) - f(0) ]/h^2 = 0
那么我们采取反证，如果题目假设成立，我们就应该能得到a、b、c的解，如果得不到这组解，那么说明假设是错误的。
假设成立时，原极限的分子必须是无穷小，也就有
lim(h→0)[ af(h) + bf(2h) + cf(3h) - f(0) ] = lim(h→0)(a + b + c - 1)f(0) = 0
∵f(0)≠0
∴就有 a + b + c = 1 这是第一个方程
然后lim(h→0)[ af(h) + bf(2h) + cf(3h) - f(0) ]/h^2是0/0型的极限，那么上下对h求导可得
lim(h→0)[ af '(h) + 2bf ' (2h) + 3cf '(3h)]/2h = 0，这还是个0/0极限，因此有
lim(h→0)[ af '(h) + 2bf '(2h) + 3cf '(3h)] = lim(h→0)(a + 2b + 3c)f '(0) = 0
∵f '(0)≠0
∴ a + 2b + 3c =0 这是第二个方程
同样的，lim(h→0)[ af '(h) + 2bf ' (2h) + 3cf '(3h)]/2h = 0还是0/0型的极限，那么上下对h求导可得
lim(h→0)[ af ''(h) + 4bf ''(2h) + 9cf ''(3h)]/2 = 0
那么就有
a + 4b + 9c = 0 这是第三个方程
解得
a = 3
b = -3
c = 1
经过计算说明，这组解是存在而且唯一的，因此，有且仅有一组abc的值满足题设条件。