Question

一道定积分的问题，可否用分部积分法来做出来？题目如图

Answer 1

你好！

∫ <0,π> xsinx / (1+cos²x) dx
= ∫<0,π> - x d arctan(cosx)
= [- x arctan(cosx)]<0,π> + ∫<0,π>arctan(cosx) dx
= π²/4 + ∫<0,π>arctan(cosx) dx

令 t=cosx ，x=arccost
∫<0,π>arctan(cosx) dx
= ∫ <1,-1> arctant / -√(1-t²) dt
奇函数，积分区间对称，其值为0

故原积分= π²/4

另法：http://zhidao.baidu.com/question/177015643.html

追问

∫arctan(cosx) dx 这个地方我又用了一次分布积分法 结果得到了一个恒等式 怎么才能避免这种情况呢？ 你对 ∫arctan(cosx) dx 处理的太巧秒了 佩服啊

追答

连续不变形式地用两次当然又变回去了

Answer 2

可以用分部积分法算，不过用换元法计算更快一些。
其实这个定积分改成不定积分也是可以算出来的，网上有些说这个是超越积分的说法真的是胡扯！！

希望对你有所帮助
如有问题，可以追问。
谢谢采纳