Question

已知数列{an}中,a1=3,前n项和Sn=1/2(n+1)(an+1)-1,求证数列{an}是等差数列

Answer 1

第一步：由已知条件Sn=1/2(n+1)(an+1)-1,可知：
①Sn-S（n-1）＝a（n）＝[1/2(n+1)(an+1)-1]-{（1/2）*n*[a（n-1）+1]-1}
②S(n-1)-S（n-2）＝a（n-1）＝（1/2）*n*[（a（n-1）+1]-1/2*(n
-1)*[a(n-2)+1]
由①式可得：a（n）＝（n+1）*a（n）/2+（n+1）/2-n*a（n-1）/2-n/2
→（n-1）*a（n）/2-n*a（n-1）+1/2＝0 ③
由②式可得：（n-2）*a（n-1）/2-（n-1）*a（n-2）/2+1/2＝0 ④
由③+④式综合可得：[（n-1）/2]*[a(n)+a(n-2)]=(n-1)*a(n-1)
化简可以得到：a(n)+a(n-2)=2*a(n-1)
因为出现了a（n-2），所以要验证当a（n）的n小于等于3时数列也是等差数列才可以得出原数列是等差数列成立
所以由式子Sn=1/2(n+1)(an+1)-1可得：S1＝a1＝1/2（1+1）（a1+1）-1＝3
S2＝a1+a2＝3+a2＝1/2（2+1）（a2+1）-1→a2＝5
S3＝a1+a2+a3＝3+5+a3＝1/2（3+1）（a3+1）-1→a3＝7
因为a1+a3＝10＝2*a2，所以得出当1≤n≤3时an也为等差数列。由上面可得：{an}是等差数列
原式得证，证毕！