Question

问一道高中不等式的问题，急！！！

已知0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x-b)²＞（ax）²的解集中的整数恰有3个，则
A.-1＜a＜0 B.0＜a＜1 C.1＜a＜3 D.3＜a＜6
答案是C，可不知道为什么，求详细步骤，一定要详细！！！

Answer 1

(ax)²-(x-b)²<0
(ax+x-b)(ax-x+b)<0
要使整数解只有3个，必然是在两根之间，所以：a-1>0；得：a>1；
一个根是b/(a+1)，一个根是-b/(a-1)；
显然b/(a+1)>0>-b/(a-1)
所以，不等式的解是：-b/(a-1)<x<b/(a+1)
因为0<b<a+1，所以：0<b/(a+1)<1；
所以：-b/(a-1)<x<b/(a+1)<1
所以，要使有三个整数解，则这三个整数必然只能是：-2，-1，0；
所以：-3<-b/(a-1)<-2
2<b/(a-1)<3
2(a-1)<b<3(a-1)
因为b<a+1；
所以：2(a-1)<a+1
得：a<3
综上：1<a<3

希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！

追问

(ax)²-(x-b)²0；得：a>1；
这又是怎么得到的

追答

(ax)²-(x-b)²0是因为(ax+x-b)(ax-x+b)0；
题目给定了a+1>0，所以，必然有：a-1>0；

Answer 2

不等式(x-b)²＞(ax)²可化为
[(a+1)x-b][(a-1)x+b]＜0.
∵0＜b＜a+1
∴0＜b/(a+1)＜1.
又必有a-1＞0
∴1＞b/(a+1)＞0＞-b/(a-1).
∴由题设应有-3≤-b/(a-1)＜-2.
∴-3(a-1)≤-b＜-2(a-1)
∴2a-2＜b≤3a-3
∴2a-2＜a+1
∴a＜3,又a＞1
∴1＜a＜3
选C

Answer 3

将右式移项后因式分解可得((1-a)x-b)((1+a)x-b)＞0
由二元一次不等式的解的取值范围可知，若1-a＞0,则x有无穷多整数解（开口朝上，解在两边）
所以1-a＜0，a＞1
整理得((a-1)x+b)((a+1)x-b)＜0
两根为b/(a+1)，-b/(a-1)
其中b/(a+1)∈(0,1)（题目已知）
所以-b/(a-1)∈(-3,-2)
整理得2a-2＜b＜3a-3
又b＜a+1，联立可得2a-2＜a+1
解得a＜3
完毕

Answer 4

不等式(x-b)²＞(ax)²可化为
[(a+1)x-b][(a-1)x+b]＜0.
∵0＜b＜a+1
∴0＜b/(a+1)＜1.
又必有a-1＞0
∴1＞b/(a+1)＞0＞-b/(a-1).
∴由题设应有-3≤-b/(a-1)＜-2.
∴-3(a-1)≤-b＜-2(a-1)
∴2a-2＜b≤3a-3
∴2a-2＜a+1
∴a＜3,又a＞1
∴1＜a＜3
选C