Question

已知a是实数，函数f（x）=2ax平方+2x-3-a如果函数Y=f（x）在区间[-1，1]上有零点，求a

的取值

Answer 1

函数f(x)=2ax²＋2x－3－a在区间[－1，1]上有零点，即方程f(x)=0在区间[－1，1]内有根。
【方法一】
1、若a=0，此时方程是2x－3=0，x=3/2，此根不在已知区间内，不合；
2、若a≠0，此时f(x)是二次函数，则可以根据二次函数的图像来研究a的取值范围。
【注】此法比较复杂，尤其是当a≠0时的讨论比较复杂，因为此时还需要研究在区间内是一个根还是两个根，另外还要看这个根也许还会取到1或－1的情况。

【方法二】
系数分离
方程2ax²＋2x－3－a=0有根，即(2x²－1)a=3－2x在区间[－1，1]内有根，此时，由于字母a的系数是2x²－1，在系数分离时还是需要两边除以2x²－1，因x∈[－1，1]时，2x²－1还是有可能是0的，故还是需要讨论。这种解法相当于求函数值域。

【方法三】
考虑问题的反面，即：函数在[－1，1]内没有零点，由于a≠0是不满足的，则这个函数必定的二次函数，即二次函数在区间[－1，1]内没有零点，考虑到这个函数的对称轴是x=－1/a，则：
1、若－1/a在区间左侧，此时只需要f(－1)×f(1)>0；
2、若－1/a在区间内，则需要判别式△<0；
3、若－1/a在区间右侧，则只需要f(1)×f(－1)>0

三种方法比较下，我个人倾向于方法三。

Answer 2

1.若a=0，则f(x)=2x-3，不合题意
2.若a≠0，
1）若f(-1)=0或f(1)=0，解得a=5或a=1
2）若f(-1)≠0且f(1)≠0
则有f(-1)*f(1)>0且Δ≥0或f(-1)*f(1)<0
解得a∈(-∞,(-3-√7)/2]∪[(-3+√7)/2,1)∪(1,5)∪(5,+∞)
综上，a的取值范围为(-∞,(-3-√7)/2]∪[(-3+√7)/2,+∞)

Answer 3

【2分之3倍的根号2-2分之3，2】

Answer 4

函数有关零点问题，一般利用函数图象去分析符合条件的情况，在考虑①开口方向   ②判别式  ③对称轴的位置 ④特殊点函数值的正负