Question

请大家帮忙看看一道矩阵论的证明题怎么做？

Answer 1

利用2-范数的定义就知道||Ax-b_1||^2+||Ax-b_2||^2+...+||Ax-b_k||^2=||kAx-(b_1+b_2+....+b_k)||^2=k^2||Ax-1/k(b_1+b_2+....+b_k)||^2，因此结论成立

追问

感觉上是对的，但希望再给讲讲，如何从2-范数(||*||2)
||*||2=Ax-b_1||^2+||Ax-b_2||^2+...+||Ax-b_k||^2,
的式之右边，写出*的表达式？有什么规则没有？

追答

对不起，上面等式不对，得这样证明：利用a^Ta=||a||^2和a^Tb=b^Ta，有||Ax-b_1||^2+||Ax-b_2||^2+...+||Ax-b_k||^2=(x^TA^T-b_1^T)(Ax-b_1)+(x^TA^T-b_2^T)(Ax-b_2)+...打开，＝kx^TA^TAx-2x^TA^T(b_1+b_2+...)-常数＝k||Ax-1/k(b_1+b_2+...))||^2+另外常数，于是结论成立，