Question

关于一道求极限的题目

Answer 1

【1】
当x＜1，且x---->1时，
易知，此时有：
lnx----->0
ln(1-x)--->-∞
∴原极限是0·∞型。
【2】
应用洛比达法则可知，
以下各式的极限是相等的：
子= ln(1-x)
————
母= 1/(lnx)
易知，这是∞/∞型，
由罗比达法则，其极限等于下面式子的极限：
子= -1/(1-x) (xln²x) ln²x
－－－－－－ = －－－－－－－= －－－－－
母= -1/(xln²x) 1-x (1-x)/x

易知，这是0/0型，
由罗比达法则，其极限等于下面式子的极限：
子= （2lnx)/x
－－－－－－= -2xlnx
母= -1/x²
易知，这个极限为0.
∴原极限=0

Answer 2

lim(x→1-）lnx*ln(1-x)=lim(x→1-）ln(1-x)/(lnx)^(-1)
应用罗比达法则，分子分母同时求导
lim(x→1-）ln(1-x)/(lnx)^(-1)=lim(x→1-）-[1/(1-x)]/[(lnx)^(-2)/x]=lim(x→1-）x*ln^2x/(x-1)
=lim(x→1-）ln^2x/(x-1)
再次应用罗比达法则
lim(x→1-）ln^2x/(x-1)=lim(x→1-）2*lnx/x=2
所以lim(x→1-）lnx*ln(1-x)=2