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如图,已知二次函数y=x²+bx+c(c≠0)的图像经过点A(-2,m)(m<0),与y轴交于点B,AB∥x轴,且3AB=2OB.(1)求m的值和求二次函数的解... 如图,已知二次函数y=x²+bx+c(c≠0)的图像经过点A(-2,m)(m<0),与y轴交于点B,AB∥x轴,且3AB=2OB.
(1)求m的值和求二次函数的解析式
(2)如果抛物线与x轴交于c,d两点(点c在左侧),在抛物线上求点p使得△POD的面积和△BOD相等,若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由
(3)y轴上求点M,使得△MOD与△BOD相似
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数学新绿洲
2011-12-01 · 初中高中数学解题研习
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解:(1)已知二次函数y=x²+bx+c(c≠0)的图像经过点A(-2,m)(m<0),与y轴交于点B,AB∥x轴,
则可知点B坐标为(0,m),且AB=2,OB=-m
因为3AB=2OB,所以6=-2m,解得m=-3
则可知二次函数过点A(-2,-3),B(0,-3)
易得c=-3,且对称轴x=-b/2=-1,即得b=2
所以二次函数的解析式为y=x²+2x-3

(2) 若抛物线y=x²+2x-3与x轴交于C.D两点(点C在左侧),则:
可令y=0,得x²+2x-3=0即(x+3)(x-1)=0,解得x=-3或x=1
所以可知抛物线与x轴的交点为C(-3,0)和D(1,0)
假设在抛物线上存在点P(p,q),是使得△POD的面积和△BOD的面积相等
因为S△POD=(1/2)*|q|*OD=(1/2)*|q|,S△BOD=(1/2)*OB*OD=3/2
所以由S△POD=S△BOD可得:(1/2)*|q|=3/2
解得q=3或-3,经检验均符合题意
当q=3时,p²+2p-3=3即p²+2p-6=0,(p+1)²=7,解得p=-1+√7或p=-1-√7
当q=-3时,p²+2p-3=-3即p²+2p=0,p(p+2)=0,解得p=0或p=-2
这就是存在以下点P坐标:(-1+√7,3)、(-1-√7,3)、(-2,-3) (注:(0,-3)与点B重合,不计)
使得△POD的面积和△BOD的面积相等。

(3)由题意设点M坐标为(0,t)
易知△BOD是以OB与OD为直角边的直角三角形,而△MOD是以OM与OD为直角边的直角三角形
那么要使得△MOD与△BOD相似,只需要它们的两条直角边对应成比例即可
即有OB/OD=OD/OM或OB/OM=OD/OD
因为OB=3,OD=1,OM=|t|
所以3/1=1/|t|或3/|t|=1
即|t|=1/3或|t|=3
解得t=1/3或-1/3或3 (其中t=-3时,点M与点B重合,故舍去)
所以在y轴上,存在点M(0,1/3)或(0,-1/3)或(0,3),使得△MOD与△BOD相似
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