Question

一数学问题

一个小虫子在一绳子上每秒爬1厘米 这绳子每秒长1米他们朝一个方向运动] 请问这条虫子 用多长时间爬到头
本人自认为数学学得挺好 希望有能力的人帮我解一下 你的答案对不对 我也能看个一二出来 所以答不出来的不要乱答
这道题是一年清华数学硕士问答题 答案是能爬到头 但我想知道他们怎么算得
知道的人能否高速我国多长时间会追上

Answer 1

可以爬到头
设虫子在t时刻的位置为S（t），绳子的长度为L（t），虫子的初始位置为a，绳子的初始长度为L0

则 绳子总伸长长度为dL=1*dt
虫子位置S处绳子共伸长S*dL/L=S*dt/L

且dt时刻虫子向前爬行的距离为0.01*dt

则虫子总的位移变化量 dS=0.01dt+S*dt/L
而L=L0+1*t=L0+t

则方程化为 dS=0.01dt+S*dt/(L0+t)
即 dS/dt=0.01+S/(L0+t)
在初始条件S（0）=a，L（0）=L0 下
解此微分方程得

S(t)=0.01(L0+t)*Ln(Lo+t)+{[(a-L0)-0.01*L0*LnL0]/L0}*(L0+t)

而L（t）=L0+t

令S(t)=L（t），并求出此时的t值，若t值存在，虫子可追上绳子，时间为此时的t，若无解则追不上

求得S=L时 t=exp{[(L0-a)+0.01*L0*LnL0]/(0.01*L0)}-L0

若初始时虫子在原点，绳子长1米，
则a=0， L0=1
此时t=exp100-1=2.688e^43

做了好长时间，请指正！

Answer 2

不妨假设绳子为一条直线段，两端点分别为O和P，O点不动，P点以1米／秒的速度向前移动，开始时OP长s米，虫子在距O点a米的A点，t秒后虫子爬到距O点x米的B点，此时B点由于绳子伸长而移动的速度为x／s米／秒，虫子以O点为参照点的移动速度为x／s＋1／100米／秒，所以
dx／dt＝x／s＋1／100，
dx／（x＋s／100）＝dt／s，
∫dx／（x＋s／100）＝∫dt／s＋c，
ln（x＋s／100）＝t／s＋c ………①。
将t＝0、x＝a代入①，得
c＝ln（a＋s／100）………②。
将②代入①，得
ln（x＋s／100）＝t／s＋ln（a＋s／100），
x＝（a＋s／100）e＾（t／s）－s／100………③。
将x＝s＋1×t代入③，并整理，得
e＾（t／s）－100t／（100a＋s）－101s／（100a＋s）＝0
………④。
指数方程④若有正实数解t，则此t即为本题的答案。当s和a的具体数值给定时，可以用图解法求t：在同一直角坐标系中画出曲线y＝e＾（t／s）和直线y＝100t／（100a＋s）＋101s／（100a＋s），其交点的t值即为答案。

Answer 3

是不是这样啊：因为虫是在绳子上的，所以绳子的增长势必会给虫一定的速度，这样虫的相对地的速度就不再是每秒1厘米，但是单纯的认为速度是1.01米/秒，我觉得还是有点问题的吧，是不是用微积分解比较合适啊，因为虫的速度是在变化的，从0.01米/秒----1.01米/秒（如果绳子的增长是以零点为原点的话），按照这样的思路，以你这么好的数学功底，用微积分应该可以解了吧，本人数学不咋地就不献丑了

Answer 4

能到头
设这个绳子长N米(包括变化后的长) 是~~ 接着把绳子分成X个单位那么 每长一米就是(1/N)*X 随着N的不断变大~~那么(1/N)*X 就不断变小~~~~~~ 当(1/N)*X小于1CM时 那么长度的单位变化就赶不上虫的速度了~!! 导致的结果只会使虫追到头 其实就是 虫每进一点那么绳子的相对变化就会小一点~!! 其中绳子并不是只有一部分增长 而是可以看作整个的均匀增长~~~

Answer 5

可以爬到头，因为绳子的质量是一定的，爬一点就少一点，所以可以爬到头。