Question

线性代数问题。矩阵问题

若4阶矩阵A的伴随矩阵A*=
1 0 0 0
0 1 0 0
1 0 1 0
1 -3 0 8
且ABA^-1=BA^-1+3E
求B.
谢谢

Answer 1

解: 由 ABA^-1=BA^-1+3E
左乘A*, 右乘A, 得
|A|B=A*B+3|A|E
由 |A*| = 8 = |A|^3
得 |A| = 2
所以 2B = A*B + 6E
所以 (2E-A*)B = 6E

(2E-A*,E) =
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
-1 0 1 0 0 0 1 0
0 3 0 -6 0 0 0 1

r3+r1,r4-3r2
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 1 0 1 0
0 0 0 -6 0 -3 0 1

r4*(-1/6)
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 1 0 1 0
0 0 0 1 0 1/2 0 -1/6

B = 6(2E-A*)^-1 =
6 0 0 0
0 6 0 0
6 0 6 0
0 3 0 -1

Answer 2

等式AA^*=det(A)E，8=det(A^*)=(detA)^{4-1}故det（A)＝2。代入前一个等式中可计算出
A＝2(A^*)^{-1}。题目等式中两边右乘A，移项得到
(A-3E)B=3A，计算出A－3E的逆矩阵就能得到结果了