Question

设函数f(x)在点x0处可导，试求下列极值的值

limf(x0+h)-f(x0-h)/2h
答案：f'(x0)
请告知详细过程，并说明这种题是否有固定公式？
P2例题4（2）

Answer 1

(x0+h)-(x0-h)=2h
因此根据极限的定义得
limf(x0+h)-f(x0-h)/2h=f'(x0)

追问

为什么可以直接(x0+h)-(x0-h)=2h

追答

这就是极限的定义呀。
limf(x0+h)-f(x0)/h=f'(x0)

看到了吧，分子上x0的变化是h，分母也是h，这样就可以得到f'(x0)

limf(x0+h)-f(x0-h)/2h=f'(x0)
分子上x0的变化是2h，分母也是2h，这样就也可以得到f'(x0)

追问

但是这上面为‘(x0+h)-(x0-h)’，但导数的定义不是f(x)的吗，你怎么可以忽略f(x)直接进行x的加减呢

追答

我是告诉你一种简单的方法，函数括号里的自变量变化应该和分母上的一致，这样才符合导数的定义。

追问

但是这种简单的方法原理是什么？那么不简单的方法是什么呢

追答

唉，真晕，这就是简单的方法，你没听懂我的意思，我是把书上的定理简单的说，就是这样来看的。

这种方法的原理还是导数的定义。

Answer 2

用定义求，不过分子要稍稍变一下，limf（x0+h）-f（x0-h）/2h=limf(x0+h）-f(x0)+f(x0)-f(x0-h)/2h=limf(x0+h)-f(x0)/2h+limf(x0)-f(x0-h)/2h=h+h=2h