Question

抛物线。。。。。。。。

经过抛物线y^2=4x的焦点F的直线l与该抛物线交于A、B两点，
1.若AB的斜率为k，试求中点M的轨迹方程
2.若直线的斜率k＞2，且点M到直线3x+4y+m=0的距离为1/5，试确定m的取值范围

第一问我会做，主要是第二问

Answer 1

Y^2=2PX。由题可得，2P=4，所以P=2
抛物线的焦点坐标是（P/2,0）所以，焦点坐标是（1,0）
设过焦点的直线y=k(x-1),与抛物线y^2=4x交于A、B两点，
代入得k^2(x-1)^2=4x,k^2*x^2-(2k^2+4)k+k^2=0
所得根为A,B两点横坐标，
A,B两点中点M横坐标为A,B两点横坐标的和/2=（k^2+2）/k^2
同理，x=y/k+1,
代入得y^2-4*(y/k+1)=0
所得根为A,B两点纵坐标，
A,B两点中点M纵坐标为A,B两点纵坐标的和/2=2/k
M坐标为（k^2+2）/k^2，2/k）轨迹坐标为x=1+(y^2)/2
点M到直线3x+4y+m=0的距离=|3*(1+2/k^2)+8/k+m|/5=1/5
|3*(1+2/k^2)+8/k+m|=1
m=1-3*(1+2/k^2)-8/k或-1-3*(1+2/k^2)-8/k
当m=1-3*(1+2/k^2)-8/k=-2（3/k^2+4/k+1),设1/k=t,k＞2推出0＜t＜1/2
m=1-3*(1+2/k^2)-8/k=-2（3/k^2+4/k+1)=-2（3t^2+4t+1)=-6(t+2/3)^2-2/3,此抛物线开口向下，
t＞-2/3单调递减，-15/2＜m＜-2
同理，当m=-1-3*(1+2/k^2)-8/k
-19/2＜m＜-4